 2. Union of a nite number of closed sets is a closed set.
3.

;

is a closed set.

Exercise 5.4.

Show that the denitions using open and closed sets are equivalent.

5.3.1 Relationships between pretopologies and topologies

5.3.1.1 Topological space induced by preclosure space

Having a preclosure space

(

U

;

cl

)

we dene a topological space whose closed sets are such sets

A

2

P

U

that cl

(

A

) =

A

.

Proposition 5.19.

This really denes a topology.

Proof.

Let

S

be a set of closed sets. First, we need to prove that

T

S

is a closed set. We have

cl

(

T

S

)

A

for every

A

2

S

. Thus cl

(

T

S

)

T

S

and consequently cl

(

T

S

) =

T

S

. So

T

S

is a

closed set.

Let now

A

0

; :::; A

n

be closed sets, then

cl

(

A

0

[

:::

[

A

n

) =

cl

(

A

0

)

[

:::

[

cl

(

A

n

) =

A

0

[

:::

[

A

n

that is

A

0

[

:::

[

A

n

is a closed set.

That

;

is a closed set is obvious.

Having a pretopological space

(

U

; )

we dene a topological space whose open sets are

f

X

2

P

U

j 8

x

2

X

:

X

2

(

x

)

g

:

Proposition 5.20.

This really denes a topology.

Proof.

Let set

S

f

X

2

P

U

j 8

x

2

X

:

X

2

(

x

)

g

. Then

8

X

2

S

8

x

2

X

:

X

2

(

x

)

. Thus

8

x

2

[

S

9

X

2

S

:

X

2

(

x

)

and so

8

x

2

S

S

:

S

S

2

(

x

)

. So

S

S

is an open set.

Let now

A

0

; :::; A

n

2 f

X

2

P

U

j 8

x

2

X

:

X

2

(

x

)

g

for

n

2

N

. Then

8

x

2

A

i

:

A

i

2

(

x

)

and so

8

x

2

A

0

\

:::

\

A

n

:

A

i

2

(

x

);

thus

8

x

2

A

0

\

:::

\

A

n

:

A

0

\

:::

\

A

n

2

(

x

)

. So

A

0

\

:::

\

A

n

2 f

X

2

P

U

j 8

x

2

X

:

X

2

(

x

)

g

.

That

U

is an open set is obvious.

Proposition 5.21.

Topology

dened by a pretopology and topology

dened by the corre-

sponding preclosure, are the same.

Proof.

Let

A

2

P

U

.

A

is

-closed

,

cl

(

A

) =

A

,

cl

(

A

)

A

, 8

x

2

U

: (

A

2

@

(

x

)

)

x

2

A

)

;

A

is

-open

,8

x

2

A

:

A

2

(

x

)

, 8

x

2

U

: (

x

2

A

)

A

2

(

x

))

, 8

x

2

U

: (

x

2

/

U

n

A

)

U

n

A

2

/

@

(

x

))

.

So

-closed and

-open are negations of each other. It follows

=

.

5.3.1.2 Preclosure space induced by topological space

We dene a preclosure and a pretopology induced by a topology and then show these two are
equivalent.

Having a topological space we dene a preclosure space by the formula

cl

(

A

) =

\

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set

; X

A

g

:

Proposition 5.22.

It is really a preclosure.

92

Common knowledge, part 2 (topology)