 Let now

0

be a pretopology, let cl is the closure induced by

0

by the formula (

5.1

), let

1

is the pretopology induced by cl by the formula (

5.2

). Really

A

2

1

(

x

)

,

x

2

/

cl

(

U

n

A

)

,

0

(

x

)

"

U

(

U

n

A

)

, "

U

A

w

0

(

x

)

,

A

2

0

(

x

)

(used proposition

4.184

). So

1

(

x

) =

0

(

x

)

.

That these functions are mutually inverse, is now proved.

5.2.1 Pretopology induced by a metric

Every metric space induces a pretopology by the formula:

(

x

) =

l

f"

U

B

r

(

x

)

j

r

2

R

; r >

0

g

:

Exercise 5.3.

Show that it is a pretopology.

Proposition 5.13.

The preclosure corresponding to this pretopology is the same as the preclosure

of the metric space.

Proof.

I denote the preclosure of the metric space as cl

M

and the preclosure corresponding to our

pretopology as cl

P

. We need to show cl

P

=

cl

M

.

Really: cl

P

(

A

) =

f

x

2

U

j

A

2

@

(

x

)

g

=

f

x

2

U

j 8

" >

0:

B

"

(

x

)

/

A

g

=

f

y

2

U

j 8

" >

0

9

a

2

A

:

d

(

y; a

)

< "

g

=

cl

M

(

A

)

for every set

A

2

P

U

.

5.3 Topological spaces

Proposition 5.14.

For the set of open sets of a metric space (

U

;

d

) it holds:

1. Union of any (possibly innite) number of open sets is an open set.
2. Intersection of a nite number of open sets is an open set.
3.

U

is an open set.

Proof.

Let

S

be a set of open sets. Let

a

2

S

S

. Then there exists

A

2

S

such that

a

2

A

. Because

A

is open we have

B

r

(

a

)

A

for some

r >

0

. Consequently

B

r

(

a

)

S

S

that is

S

S

is open.

Let

A

0

; :::; A

n

be open sets. Let

a

2

A

0

\

:::

\

A

n

for some

n

2

N

. Then there exist

r

i

such that

B

r

i

(

a

)

A

i

. So

B

r

(

a

)

A

0

\

:::

\

A

n

for

r

=

min

f

r

0

; :::; r

n

g

that is

A

0

\

:::

\

A

n

is open.

That

U

is an open set is obvious.

The above proposition suggests the following denition:

Denition 5.15.

A

topology

on a set

U

is a collection

O

(called the set of

open sets

) of subsets

of

U

such that:

1. Union of any (possibly innite) number of open sets is an open set.
2. Intersection of a nite number of open sets is an open set.
3.

U

is an open set.

The pair

(

U

;

O

)

is called a

topological space

.

Remark 5.16.

From the above it is clear that every metric induces a topology.

Proposition 5.17.

Empty set is always open.

Proof.

Empty set is union of an empty set.

Denition 5.18.

A

closed set

is a complement of an open set.

Topology can be equivalently expresses in terms of closed sets:
A

topology

on a set

U

is a collection (called the set of

closed sets

) of subsets of

U

such that:

1. Intersection of any (possibly innite) number of closed sets is a closed set.

5.3 Topological spaces

91