 Proposition 5.7.

cl

(

A

)

A

.

Proof.

It follows from

d

(

a; a

) = 0

< "

.

Exercise 5.2.

Prove cl

(

A

[

B

) =

cl

(

A

)

[

cl

(

B

)

for every subsets

A

and

B

of a metric space.

5.1.2 Continuity

Denition 5.8.

A function

f

from a metric space

A

to a metric space

B

is called

continuous

at

point

a

2

A

when

8

" >

0

9

>

0

8

x

2

A

: (

d

(

a; x

)

)

d

(

f

(

a

)

; f

(

x

))

< "

)

:

Denition 5.9.

A function

f

is called

continuous

when it is continuous at every point of its

domain.

5.2 Pretopological spaces

Pretopological space

can be dened in two equivalent ways: a

neighborhood system

or a

preclosure

operator

. To be more clear I will call

pretopological space

only the rst (neighborhood system) and

the second call a

preclosure space

.

Denition 5.10.

Pretopological space

is a set

U

together with a lter

(

x

)

on

U

for every

x

2

U

,

such that

"

U

f

x

g v

(

x

)

.

(

x

)

is called a

pretopology

on

U

.

Denition 5.11.

Preclosure

on a set

U

is an unary operation cl on

P

U

such that for every

A;

B

2

P

U

:

1. cl

(

;

) =

;

;

2. cl

(

A

)

A

;

3. cl

(

A

[

B

) =

cl

(

A

)

[

cl

(

B

)

.

I call a preclosure together with a set

U

as

preclosure space

.

Theorem 5.12.

Small pretopological spaces and small preclosure spaces bijectively correspond

to each other by the formulas:

cl

(

A

) =

f

x

2

U

j

A

2

@

(

x

)

g

;

(5.1)

(

x

) =

f

A

2

P

U

j

x

2

/

cl

(

U

n

A

)

g

:

(5.2)

Proof.

First let's prove that cl dened by formula (

5.1

is really a preclosure.

cl

(

;

) =

;

is obvious. If

x

2

A

then

A

2

@

(

x

)

and so cl

(

A

)

A

. cl

(

A

[

B

) =

f

x

2

U

j

A

[

B

2

@

(

x

)

g

=

f

x

2

U

j

A

2

@

(

x

)

_

B

2

@

(

x

)

g

=

cl

(

A

)

[

cl

(

B

)

. So, it is really a preclosure.

Next let's prove that

dened by formula (

5.2

is a pretopology. That

(

x

)

is an upper

set is obvious. Let

A; B

2

(

x

)

. Then

x

2

/

cl

(

U

n

A

)

^

x

2

/

cl

(

U

n

B

)

;

x

2

/

cl

(

U

n

A

)

[

cl

(

U

n

B

) =

cl

((

U

n

A

)

[

(

U

n

B

)) =

cl

(

U

n

(

A

\

B

))

;

A

\

B

2

(

x

)

. We have proved that

(

x

)

is a lter.

Let's prove

"

U

f

x

g v

(

x

)

. If

A

2

(

x

)

then

x

2

/

cl

(

U

n

A

)

and consequently

x

2

/

U

n

A

;

x

2

A

;

A

2 "

U

f

x

g

. So

"

U

f

x

g v

(

x

)

and thus

is a pretopology.

It is left to prove that the functions dened by the above formulas are mutually inverse.
Let cl

0

be a preclosure, let

is the pretopology induced by cl

0

by the formula (

5.2

), let cl

1

is the preclosure induced by

by the formula (

5.1

). Let's prove cl

1

=

cl

0

. Really,

x

2

cl

1

(

A

)

,

(

x

)

/

"

U

A

, 8

X

2

(

x

):

X

\

A

=

/

; , 8

X

2

P

U

: (

x

2

/

cl

0

(

U

n

X

)

)

X

\

A

=

/

;

)

, 8

X

0

2

P

U

:

(

x

2

/

cl

0

(

X

0

)

)

A

n

X

0

=

/

;

)

, 8

X

0

2

P

U

: (

A

n

X

0

=

; )

x

2

cl

0

(

X

0

))

, 8

X

0

2

P

U

:

(

A

X

0

)

x

2

cl

0

(

X

0

))

,

x

2

cl

0

(

A

)

. So cl

1

(

A

) =

cl

0

(

A

)

.

90

Common knowledge, part 2 (topology)