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Remark 4.259.

Consequently

[

S

]

is atomistic, completely distributive and isomorphic to a power

set algebra (see [

39

]).

Proof.

Completeness of

[

S

]

is obvious. Let

A

2

[

S

]

. Then there exists

X

2

P

S

such that

A

=

F

F

X

.

Let

B

=

F

F

(

S

n

X

)

. Then

B

2

[

S

]

and

A

u

F

B

= 0

F

.

A

t

F

B

=

F

F

S

is the greatest element of

[

S

]

.

So we have proved that

[

S

]

is a boolean lattice.

Now let prove that

[

S

]

is atomic with the set of atoms being

S

. Let

z

2

S

and

A

2

[

S

]

. If

A

=

/

z

then either

A

= 0

F

or

x

2

X

where

A

=

F

F

X

,

X

2

P

S

and

x

=

/

z

. Because

S

is a partition,

F

F

(

X

n f

z

g

)

u

F

z

= 0

F

and

F

F

(

X

n f

z

g

) =

/ 0

F

. So

A

=

F

F

X

=

F

F

(

X

n f

z

g

)

t

F

z

v

z

.

Finally we will prove that elements of

[

S

]

n

S

are not atoms. Let

A

2

[

S

]

n

S

and

A

=

/ 0

. Then

A

w

x

t

F

y

where

x; y

2

S

and

x

=

/

y

. If

A

is an atom then

A

=

x

=

y

what is impossible.

Proposition 4.260.

The conjecture about the value of

[

S

]

is equivalent to closedness of

F

F

X

j

X

2

P

S

 

under arbitrary meets and joins.

Proof.

If

F

F

X

j

X

2

P

S

 

= [

S

]

then trivially

F

F

X

j

X

2

P

S

 

is closed under arbitrary

meets and joins.

If

F

F

X

j

X

2

P

S

 

is closed under arbitrary meets and joins, then it is the complete lattice

generated by the set

S

because it cannot be smaller than the set of all suprema of subsets of

S

.

That

F

F

X

j

X

2

P

S

 

is closed under arbitrary joins is trivial. I have not succeeded to prove

that it is closed under arbitrary meets, but have proved a weaker statement that is is closed under
nite meets:

Proposition 4.261.

F

F

X

j

X

2

P

S

 

is closed under nite meets.

Proof.

Let

R

=

F

F

X

j

X

2

P

S

 

. Then for every

X ; Y

2

P

S

G

F

X

u

F

G

F

Y

=

G

F

((

X

\

Y

)

[

(

X

n

Y

))

u

F

G

F

Y

=

 

G

F

(

X

\

Y

)

t

F

G

F

(

X

n

Y

)

!

u

F

G

F

Y

=

 

G

F

(

X

\

Y

)

u

F

G

F

Y

!

t

F

 

G

F

(

X

n

Y

)

u

F

G

F

Y

!

=

 

G

F

(

X

\

Y

)

u

F

G

F

Y

!

t

F

0

F

=

G

F

(

X

\

Y

)

u

F

G

F

Y :

Applying the formula

F

F

X

u

F

F

F

Y

=

F

F

(

X

\

Y

)

u

F

F

F

Y

twice we get

G

F

X

u

F

G

F

Y

=

G

F

(

X

\

Y

)

u

F

G

F

(

Y

\

(

X

\

Y

)) =

G

F

(

X

\

Y

)

u

F

G

F

(

X

\

Y

) =

G

F

(

X

\

Y

)

:

But for any

A; B

2

R

there exist

X ; Y

2

P

S

such that

A

=

F

F

X

,

B

=

F

F

Y

. So

A

u

F

B

=

F

F

X

u

F

F

F

Y

=

F

F

(

X

\

Y

)

2

R

.

86

Filters and filtrators