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Suppose

Z

=

/

Z

0

2

P

N

. Without loss of generality we may assume that some

b

2

Z

but

b

2

/

Z

0

. Then

M

(

Z

)

2 F

b

and

N

n

M

(

Z

0

)

2 F

b

. If

M

(

Z

) =

M

(

Z

0

)

then

F

b

= 0

F

what contradicts to the above.

So

M

is an injective function from

P

R

to

P

N

what is impossible due cardinality issues.

Lemma 4.253.

(by Niels Diepeveen, with help of Karl Kronenfeld) Let

K

be a collection of free

ultralters. We have

F

K

i

9G 2

K

:

A

2 G

for every innite set

A

.

Proof.

)

.

Suppose

F

K

and let

A

be a set such that

@

G 2

K

:

A

2 G

. Let's prove

A

is nite.

Really,

8G 2

K

:

U

n

A

2 G

;

U

n

A

2

;

A

is nite.

(

.

Let

9G 2

K

:

A

2 G

. Suppose

A

is a set in

F

K

.

To nish the proof it's enough to show that

U

n

A

is nite.

Suppose

U

n

A

is innite. Then

9G 2

K

:

U

n

A

2 G

;

9G 2

K

:

A

2

/

G

;

A

2

/

F

K

,

contradiction.

Lemma 4.254.

(by Niels Diepeveen) If

K

is a non-empty set of ultralters such that

F

K

,

then for every

G 2

K

we have

F

(

K

n fG g

) = 

.

Proof.

9F 2

K

:

A

2 F

for every innite set

A

.

The set

A

can be partitioned into two innite sets

A

1

,

A

2

.

Take

F

1

;

F

2

2

K

such that

A

1

2 F

1

,

A

2

2 F

2

.

F

1

=

/

F

2

because otherwise

A

1

and

A

2

are not disjoint.

Obviously

A

2 F

1

and

A

2 F

2

.

So there exist two dierent

F 2

K

such that

A

2 F

. Consequently

9F 2

K

n fG g

:

A

2 F

that is

F

(

K

n fGg

) = 

.

Example 4.255.

There exists a lter on a set which cannot be weakly partitioned into ultralters.

Proof.

Consider conite lter

on any innite set.

Suppose

K

is its weak partition into ultralters. Then

x

F

(

K

nf

x

g

)

for some ultralter

x

2

K

.

We have

F

(

K

n f

x

g

)

@

F

K

(otherwise

x

v

F

(

K

n f

x

g

)

) what is impossible due the last

lemma.

Corollary 4.256.

There exists a lter on a set which cannot be strongly partitioned into ultra-

lters.

4.6 Open problems about lters

In this section, I will formulate some conjectures about lattices of lters on a set. If a conjecture
comes true, it may be generalized for more general lattices (such as, for example, lattices of lters
on arbitrary lattices). I deem that the main challenge is to prove the special case about lattices of
lters on a set, and generalizing the conjectures is expected to be an easy task.

4.6.1 Partitioning

Consider the complete lattice

[

S

]

generated by the set

S

where

S

is a strong partition of some

element

a

.

Conjecture 4.257.

[

S

] =

F

F

X

j

X

2

P

S

 

, where

[

S

]

is the complete lattice generated by a

strong partition

S

of lter on a set.

Consider also the similar conjecture with weak partition instead strong partition.

Proposition 4.258.

Provided that the last conjecture is true, we have that

[

S

]

is a complete

atomic boolean lattice with the set of its atoms being

S

.

4.6 Open problems about filters

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