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Proof.

The lattice with the following Hasse diagram

4.2

is bounded and distributive because it

does not contain diamond lattice nor pentagon lattice as a sublattice [

40

].

a

0

1

y

x

Figure 4.1.

It's center is

f

0

;

1

g

.

x

u

y

= 0

despite up

x

=

f

x; a;

1

g

but

y

u

1 =

/ 0

consequently the lattice is

not with separable center.

For further examples we will use the lter

dened by the formula

 =

l

F

f"

(

¡

"

;

"

)

j

"

2

R

; " >

0

g

and more general

 +

a

=

l

F

f"

(

a

¡

"

;

a

+

"

)

j

"

2

R

; " >

0

g

:

Example 4.244.

There exists

A

2

P

U

such that

d

F

h"i

A

=

/

"

T

A

.

Proof.

"

T

f

(

¡

"

;

"

)

j

"

2

R

; " >

0

g

=

"f

0

g

=

.

Example 4.245.

There exists a set

U

and a lter

a

and a set

S

of lters on the set

U

such that

a

u

F

F

F

S

=

/

F

F

h

a

u

F

i

S

.

Proof.

Let

a

and

S

=

h"if

(

"

; +

1

)

j

" >

0

g

. Then

a

u

F

F

F

S

u

F

"

(0; +

1

) =

/ 0

F

while

F

F

h

a

u

F

i

S

=

F

F

f

0

F

g

= 0

F

.

Example 4.246.

There are tornings which are not weak partitions.

Proof.

f

 +

a

j

a

2

R

g

is a torning but not weak partition of the real line.

Lemma 4.247.

Let

F

be the set of lters on a set

U

. Then

"

X

u

F

v "

Y

u

F

i

X

n

Y

is a nite

set, for every sets

X ; Y

2

P

U

.

Proof.

"

X

u

F

v "

Y

u

F

, f

X

\

K

X

j

K

X

2

g  f

Y

\

K

Y

j

K

Y

2

g , 8

K

Y

2

9

K

X

2

:

Y

\

K

Y

=

X

\

K

X

, 8

L

Y

2

M

9

L

X

2

M

:

Y

n

L

Y

=

X

n

L

X

, 8

L

Y

2

M

:

X

n

(

Y

n

L

Y

)

2

M

,

X

n

Y

2

M

, where

M

is the set of nite subsets of

U

.

Example 4.248.

There exists a lter

A

on a set

U

such that

(

P

U

) /

and

Z

(

D

A

)

are not

complete lattices.

Proof.

Due to the isomorphism it is enough to prove for

(

P

U

)/

.

Let take

U

=

N

and

A

be the Fréchet lter on

N

.

Partition

N

into innitely many innite sets

A

0

; A

1

; :::

. To withhold our example we will prove

that the set {

[

A

0

]

;

[

A

1

]

; :::

} has no supremum in

(

P

U

)/

.

Let

[

X

]

be an upper bound of

[

A

0

]

;

[

A

1

]

; :::

that is

8

i

2

N

:

"

X

u

F

w "

A

i

u

F

that is

A

i

n

X

is

nite. Consequently

X

is innite. So

X

\

A

i

=

/

;

.

4.2

See Wikipedia for a denition of Hasse diagrams.

4.5 Some Counter-Examples

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