 4.4.2 Number of Filters on a Set

Denition 4.238.

A collection

Y

of sets has

nite intersection property

i intersection of any

nite subcollection of

Y

is non-empty.

The following was borrowed from [

7

]. Thanks to Andreas Blass for email support about his

proof.

Lemma 4.239.

(by Hausdor) For an innite set

X

there is a family

F

of

2

card

X

many subsets of

X

such that given any disjoint nite subfamilies

A

,

B

, the intersection of sets in

A

and complements

of sets in

B

is nonempty.

Proof.

Let

X

0

=

f

(

P

;

Q

)

j

P

2

P

X

is nite

; Q

2

PP

P

g

:

It's easy to show that card

X

0

=

card

X

. So it is enough to show this for

X

0

X

. Let

F

=

ff

(

P

;

Q

)

2

X

0

j

Y

\

P

2

Q

g j

Y

2

P

X

g

:

To nish the proof we show that for every disjoint nite

Y

+

2

PP

X

and nite

Y

¡

2

PP

X

there

exist

(

P

;

Q

)

2

X

0

such that

8

Y

2

Y

+

: (

P

;

Q

)

2 f

(

P

;

Q

)

2

X

0

j

Y

\

P

2

Q

g

and

8

Y

2

Y

¡

: (

P

;

Q

)

2

/

f

(

P

;

Q

)

2

X

0

j

Y

\

P

2

Q

g

what is equivalent to existence

(

P

;

Q

)

2

X

0

such that

8

Y

2

Y

+

:

Y

\

P

2

Q

and

8

Y

2

Y

¡

:

Y

\

P

2

/

Q:

For existence of this

(

P

;

Q

)

, it is enough existence of

P

such that intersections

Y

\

P

are dierent

for dierent

Y

2

Y

+

[

Y

¡

.

Really, for each pair of distinct

Y

0

; Y

1

2

Y

+

[

Y

¡

choose a point which lies in one of the sets

Y

0

,

Y

1

and not in an other, and call the set of such points

P

. Then

Y

\

P

are dierent for dierent

Y

2

Y

+

[

Y

¡

.

Corollary 4.240.

For an innite set

X

there is a family

F

of

2

card

X

many subsets of

X

such

that for arbitrary disjoint subfamilies

A

and

B

the set

A [ f

X

n

A

j

A

2 Bg

has nite intersection

property.

Theorem 4.241.

Let

X

be a set. The number of ultralters on

X

is

2

2

card

X

if

X

is innite and

card

X

if

X

is nite.

Proof.

The nite case follows from the fact that every ultralter on a nite set is trivial. Let

X

be innite. From the lemma, there exists a family

F

of

2

card

X

many subsets of

X

such that for

every

G 2

P

F

we have

(

F

;

G

) =

d

h"iG u

d

h"if

X

n

A

j

A

2 F n G g

=

/ 0

F

(

X

)

.

This lter contains all sets from

G

and does not contain any sets from

F n G

. So for every

suitable pairs

(

F

0

;

G

0

)

and

(

F

1

;

G

1

)

there is

A

2

(

F

0

;

G

0

)

such that

A

2

(

F

1

;

G

1

)

. Consequently all

lters

(

F

;

G

)

are disjoint. So for every pair

(

F

;

G

)

where

G 2

P

F

there exist a distinct ultralter

under

(

F

;

G

)

, but the number of such pairs

(

F

;

G

)

is

2

2

card

X

. Obviously the number of all lters

is not above

2

2

card

X

.

Corollary 4.242.

The number of lters on

U

is

2

2

card

U

if

U

is innite and

2

card

U

if

U

is nite.

Proof.

The nite case is obvious. The innite case follows from the theorem and the fact that

lters are collections of sets and there cannot be more than

2

2

card

U

collections of sets on

U

.

4.5 Some Counter-Examples

Example 4.243.

There exist a bounded distributive lattice which is not lattice with separable

center.

82

Filters and filtrators