 2.

S

is lter closed.

Proof.

By theorem

4.146

.

Proposition 4.218.

Let

F

be lters on a set. Let

A 2

F

. Then for each

X 2

F

X 2

Z

(

D

A

)

, 9

X

2

P

:

X

=

X

u

F

A

:

Proof.

By theorem

4.147

.

Proposition 4.219.

Cor

a

=

"f

p

2

U

j "f

p

g v

a

g

and

T

a

=

f

p

2

U

j "f

p

g v

a

g

for every lter

a

on a set.

Proof.

By propositions

4.148

and

4.181

.

Proposition 4.220.

For every lter

a

on a set

a

=

a

+

=

Cor

a

=

Cor

0

a

.

Proof.

By propositions

4.149

and

4.181

.

Corollary 4.221.

For every lter

a

on a set

a

=

a

+

2

P

.

Proposition 4.222.

If

a

is a lter on a set, then

a

+

is dual pseudocomplement of

a

, that is

a

+

=

min

f

c

2

F

j

c

t

F

a

= 1

F

g

:

Proof.

By proposition

4.151

.

Proposition 4.223.

If

a

,

b

are lters on a set, then

1.

T

(

a

u

F

b

) =

T

a

\

T

b

;

2.

T

(

a

t

F

b

) =

T

a

[

T

b

.

Proof.

By propositions

4.153

and

4.156

.

Proposition 4.224.

T

d

F

S

=

T

h

T

i

S

.

Proof.

By proposition

4.154

.

Proposition 4.225.

If

a

,

b

are lters on a set, then

1.

(

a

u

F

b

)

=

a

t

P

b

;

2.

(

a

t

F

b

)

=

a

u

P

b

.

Proof.

By propositions

4.157

and

4.158

.

Proposition 4.226.

For every

X ; Y

2

P

U

and lter

F

on

U

we have:

"

X

"

Y

, 9

A

2 A

:

X

\

A

=

Y

\

A:

Proof.

By theorem

4.162

.

Proposition 4.227.

Let

F

be the set of lters on a set

U

and

A 2

F

. Consider the function

:

Z

(

D

A

)

!

(

P

U

)/

dened by the formula (for every

p

2

Z

(

D

A

)

)

p

=

f

X

2

Z

j "

X

u

F

A

=

p

g

:

Then:

1.

is a lattice isomorphism.

2.

8

Q

2

q

:

¡

1

q

=

"

Q

u

F

A

for every

q

2

(

P

U

)/

.

80

Filters and filtrators