background image

6.16 Filters closed regarding a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7 Reloids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.1 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.2 Composition of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.3 Direct product of lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.4 Restricting reloid to a lter. Domain and image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.5 Categories of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.6 Monovalued and injective reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

7.7 Complete reloids and completion of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8 Relationships between funcoids and reloids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8.1 Funcoid induced by a reloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8.2 Reloids induced by a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8.3 Galois connections between funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8.4 Funcoidal reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9 On distributivity of composition with a principal reloid

. . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9.1 Decomposition of composition of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9.2 Decomposition of composition of reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9.3 Lemmas for the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9.4 Proof of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

9.5 Embedding reloids into funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10 Continuous morphisms

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.1 Traditional denitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.1.1 Pretopology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.1.2 Proximity spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.1.3 Uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.2 Our three denitions of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

10.3 Continuity of a restricted morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11 Connectedness regarding funcoids and reloids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11.1 Some lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11.2 Endomorphism series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11.3 Connectedness regarding binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11.4 Connectedness regarding funcoids and reloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

11.5 Algebraic properties of

S

and

S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12 Total boundness of reloids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12.1 Thick binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12.2 Totally bounded endoreloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12.3 Special case of uniform spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12.4 Relationships with other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

12.5 Additional predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13 Orderings of lters in terms of reloids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.1 Equivalent lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.2 Ordering of lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.2.1 Existence of no more than one monovalued injective reloid for a given pair of ultralters

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.2.1.1 The lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.2.1.2 The main theorem and its consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

13.3 Rudin-Keisler equivalence and Rudin-Keisler order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

8

Table of contents