 Proposition 4.206.

@

F

F

S

=

S

h

@

i

S

for every

S

2

P

F

where

F

are lters on a set.

Proof.

By theorem

4.132

.

Proposition 4.207.

The poset of lters on a set is atomic.

Proof.

By theorem

4.135

.

Proposition 4.208.

The poset of lters on a set is separable.

Proof.

By obvious

4.136

.

Proposition 4.209.

The poset of lters on a set is atomistic.

Proof.

By theorem

4.137

.

Proposition 4.210.

The poset of lters on a set is atomically separable.

Proof.

By corollary

4.138

.

Proposition 4.211.

The ltrator on a powerset is central.

Proof.

By theorem

4.139

.

Proposition 4.212.

a

is an atom of

P

i

a

2

P

and

a

is an atom of

F

for lters on a set.

Proof.

By proposition

4.140

.

Proposition 4.213.

a

2

F

is an atom of

F

i up

a

=

@a

for lters on a set.

Proof.

By proposition

4.141

.

Theorem 4.214.

Let

a

be a lter on a set. Then the following are equivalent:

1.

a

is prime.

2. For every

A

2

Z

exactly one of

f

A; A

g

is in

a

.

3.

a

is an atom of

F

.

Proof.

By theorem

4.143

.

Proposition 4.215.

The following conditions are equivalent for every lter

F

on a set:

1.

F 2

P

;

2.

8

S

2

P

F

:

¡

F u

F

F

F

S

=

/ 0

) 9K 2

S

:

F u

F

K

=

/ 0

;

3.

8

S

2

P

P

:

¡

F u

F

F

F

S

=

/ 0

) 9

K

2

S

:

F u

F

K

=

/ 0

.

Proof.

By proposition

4.144

.

Proposition 4.216.

For every lter

F

on a set

F 2

P

, 8

S

2

P

P

:

G

P

S

2

@

F )

S

\

@

F

=

/

;

!

:

Proof.

By theorem

4.145

.

Theorem 4.217.

For any

S

2

P

F

, where

F

are lters on a set, the condition

9F 2

F

:

S

=

?

F

is

equivalent to conjunction of the following items:

1.

S

is a free star on

F

;

4.4 Filters on a Set

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