 Proof.

By theorem

4.116

.

Proposition 4.194.

Let

F

be the poset of lters on a powerset.

A

u

F

F

F

S

=

F

F

h

A

u

F

i

S

for

every

A

2

P

and every set

S

2

P

F

.

Proof.

By theorem

4.118

.

Proposition 4.195.

If

S

is a generalized lter base of a lter

F

on a set

U

then for any

K

2

P

U

K

2 F , 9L 2

S

:

K

2 L

:

Proof.

By theorem

4.121

.

Proposition 4.196.

If

S

is a generalized lter base of a lter

F

on a set

U

then

0

F

2

S

, F

= 0

F

:

Proof.

By corollary

4.122

.

Proposition 4.197.

Let

S

be a nonempty set of lters on a set such that

F

0

u

F

:::

u

F

F

n

=

/ 0

F

for

every

F

0

; :::;

F

n

2

S

. Then

d

F

S

=

/ 0

F

.

Proof.

By theorem

4.123

.

Proposition 4.198.

Let

S

2

P

U

n f;g

where

U

is a set and

A

0

\

:::

\

A

n

=

/

;

for every

A

0

; :::;

A

n

2

S

. Then

d

F

h"i

S

=

/ 0

F

.

Proof.

By corollary

4.124

.

Proposition 4.199.

@a

is a free star for each lter

a

on a set.

Proof.

By theorem

4.125

.

Proposition 4.200.

For a lter

A

on a set:

X

2

up

A ,

X

2

/

@

A

for every

X

2

P

,

A 2

F

.

Proof.

By theorem

4.126

.

Proposition 4.201.

For a lter

A

on a set:

1.

@

A

=

f

X

j

X

2

P

n

up

Ag

;

2. up

A

=

f

X

j

X

2

P

n

@

Ag

(where complement is taken on the boolean lattice

P

).

Proof.

By corollary

4.127

.

Proposition 4.202.

@

is an injection for lters on sets.

Proof.

By corollary

4.128

.

Proposition 4.203.

For lters on a set: for any set

S

2

P

P

there exists a lter

A

such that

@

A

=

S

i

S

is a free star.

Proof.

By theorem

4.129

.

Proposition 4.204.

A v B ,

@

@

B

for every lters

A

,

B

on a set.

Proof.

By proposition

4.130

.

Proposition 4.205.

@

is a straight monotone map for lters on a set.

Proof.

By corollary

4.131

.

78

Filters and filtrators