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Proposition 4.179.

Every powerset ltrator is with separable core.

Proof.

By theorem

4.112

.

Proposition 4.180.

Every powerset ltrator is with co-separable core.

Proof.

By theorem

4.99

.

Proposition 4.181.

Cor

0

a

=

Cor

a

=

"

Base

(

a

)

T

a

for every lter

a

on a set.

Proof.

By proposition

4.100

.

Proposition 4.182.

Cor

a

v

a

for every lter

a

on a set.

Proof.

By proposition

4.101

.

Proposition 4.183.

Cor

a

=

max down

a

for every lter

a

on a set.

Proof.

By proposition

4.102

.

Proposition 4.184.

For the lattice

F

of lters on a set

U

,

A 2

F

,

B

2

P

we have:

1.

B

F

A ,

B

w A

;

2.

B

F

A ,

B

v A

.

Proof.

By theorem

4.103

.

Proposition 4.185.

F

F

S

=

T

S

for a set

S

of lters on a powerset.

Proof.

By theorem

4.106

.

Corollary 4.186.

A set of lters on a powerset is always a complete lattice.

Corollary 4.187.

A t B

=

A \ B

for lters

A

and

B

on a powerset.

Proposition 4.188.

For

S

2

P

F

n f;g

where

F

are lters on a powerset

l

F

S

=

K

0

\

:::

\

K

n

j

K

i

2

[

S

where

i

= 0

; :::; n

for

n

2

N

 

:

Proof.

By theorem

4.110

.

Proposition 4.189.

For every

F

0

; :::;

F

m

2

F

(

m

2

N

) where

F

are lters on a powerset

F

0

u

F

:::

u

F

F

m

=

f

K

0

\

:::

\

K

m

j

K

i

2 F

i

where

i

= 0

; :::; m

g

:

Proof.

By theorem

4.111

.

Proposition 4.190.

If

A 2

F

and

S

2

P

F

where

F

are lters on a powerset then

A t

F

l

F

S

=

l

F

hA t

F

i

S:

Proof.

By theorem

4.113

.

Corollary 4.191.

The poset of lters on a powerset is a distributive lattice.

Corollary 4.192.

The poset of lters on a powerset is a co-brouwerian lattice.

Proposition 4.193.

a

n

F

B

=

a

u

F

B

for every

a

2

F

,

B

2

P

(where

F

is lters on a powerset and

the complement is taken on

P

).

4.4 Filters on a Set

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