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4.3.22 Pseudodierence of lters

Proposition 4.167.

For a lattice

F

of lters over a boolean lattice and

a; b

2

F

the following

expressions are always equal:

1.

a

n

b

=

d

f

z

2

F

j

a

v

b

t

z

g

(quasidierence of

a

and

b

);

2.

a

#

b

=

F

f

z

2

F

j

z

v

a

^

z

u

b

= 0

g

(second quasidierence of

a

and

b

);

3.

F

(

atoms

a

n

atoms

b

)

.

Proof.

Theorem

3.43

taking into account corollary

4.115

theorem

4.137

.

4.4 Filters on a Set

In this section we will consider lters on the poset

Z

=

P

U

(where

U

is some xed set) with the

order

A

v

B

,

A

B

(for

A; B

2

P

U

).

In fact, it is a complete atomistic boolean lattice with

d

S

=

T

S

,

F

S

=

S

S

,

A

=

U

n

A

for

every

S

2

PP

U

and

A

2

P

U

, atoms being one-element sets.

Denition 4.168.

I will call a lter on the lattice of all subsets of a given set

U

as a

lter on set

.

Denition 4.169.

I will denote the set on which a lter

F

is dened as Base

(

F

)

.

Obvious 4.170.

Base

(

F

) =

S

F

.

Denition 4.171.

I will call the primary ltrator for

Z

=

P

U

(with order on

Z

dened as

A

v

B

,

A

B

) for some set

U

as

powerset ltrator

.

Proposition 4.172.

The following are equivalent for a non-empty set

F

2

PP

U

:

1.

F

is a lter.

2.

8

X ; Y

2

F

:

X

\

Y

2

F

and

F

is an upper set.

3.

8

X ; Y

2

P

U

: (

X ; Y

2

F

,

X

\

Y

2

F

)

.

Proof.

By theorem

4.82

.

Obvious 4.173.

The minimal lter on

P

U

is

P

U

.

Obvious 4.174.

The maximal lter on

P

U

is

f

U

g

.

I will denote

"

A

=

"

U

A

=

"

P

U

A

. (The distinction between conicting notations

"

U

A

and

"

P

U

A

will be clear from the context.)

Proposition 4.175.

The powerset ltrator is both up-aligned and down-aligned.

Proof.

By theorem

4.98

.

Proposition 4.176.

Every powerset ltrator is ltered.

Proof.

By corollary

4.95

.

Proposition 4.177.

Every powerset ltrator is with join-closed core.

Proof.

By corollary

4.96

.

Proposition 4.178.

Every powerset ltrator is with nitely meet-closed core.

Proof.

By proposition

4.97

.

76

Filters and filtrators