 4.3.18 Filters and a Special Sublattice

Theorem 4.147.

Let

(

F

;

Z

)

be a primary ltrator where

Z

is a boolean lattice. Let

A 2

F

. Then

for each

X 2

F

X 2

Z

(

D

A

)

, 9

X

2

P

:

X

=

X

u

F

A

:

Proof.

(

.

Let

X

=

X

u

F

A

where

X

2

P

. Let also

Y

=

X

u

F

A

. Then

X u

F

Y

=

X

u

F

X

u

F

A

=

(

X

u

P

X

)

u

F

A

= 0

F

(used theorem

4.44

and

X t

F

Y

= (

X

t

F

X

)

u

F

A

= (

X

t

P

X

)

u

F

A

=

1

F

u

F

A

=

A

(used the theorems

4.25

and corollary

4.114

). So

X 2

Z

(

D

A

)

.

)

.

Let

X 2

Z

(

D

A

)

. Then there exists

Y 2

Z

(

D

A

)

such that

X u

F

Y

= 0

F

and

X t

F

Y

=

A

.

Then (used theorem

4.112

there exists

X

2

up

X

such that

X

u

F

Y

= 0

F

. We have

X

=

X t

F

(

X

u

F

Y

) =

X

u

F

(

X t

F

Y

) =

X

u

F

A

:

4.3.19 Core Part and Atomic Elements

Proposition 4.148.

Let

Z

be an atomistic lattice. Then for every

a

2

F

such that Cor

0

a

exists

we have

Cor

0

a

=

G

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

a

g

:

Proof.

(

F

;

P

)

is with join-closed core by corollary

4.96

So we can apply theorem

4.67

.

4.3.20 Complements and Core Parts

Proposition 4.149.

Let

Z

be a complete boolean lattice. Then

a

=

a

+

=

Cor

a

for every

a

2

F

.

Proof.

The ltrator

(

F

;

P

)

is ltered by the corollary

4.95

.

F

is a complete lattice by corollary

4.107

.

(

F

;

P

)

is with co-separable core by theorem

4.73

Thus we can apply the theorem

4.60

.

(

F

;

P

)

is ltered by corollary

4.95

nitely meet-closed by proposition

4.97

with separable core

by theorem

4.112

.

F

is a complete lattice by corollary

4.107

So we can apply the theorem

4.62

.

Proposition 4.150.

Let

Z

be a complete lattice. Then

a

2

P

.

Proof.

F

is a complete lattice by

4.107

.

(

F

;

P

)

is a ltrator with join-closed core by corollary

4.96

.

(

F

;

P

)

is a ltrator with separable core by theorem

4.112

So we can apply theorem

4.64

.

Proposition 4.151.

If

Z

is a complete boolean lattice, then

a

+

is dual pseudocomplement of

a

,

that is

a

+

=

min

f

c

2

A

j

c

t

F

a

= 1

F

g

for every

a

2

F

.

Proof.

(

F

;

P

)

is ltered by the corollary

4.95

It is with co-separable core by theorem

4.73

.

F

is

a complete lattice by corollary

4.107

So we can apply theorem

4.65

.

Proposition 4.152.

For a primary ltrator over a complete boolean lattice both edge part and

dual edge part are always dened.

Proof.

Core part and dual core part are dened because the core is a complete lattice. Using the

theorem

4.116

.

Proposition 4.153.

If

Z

is a complete lattice, then for every

a; b

2

F

Cor

(

a

u

F

b

) =

Cor

a

u

P

Cor

b:

4.3 Filters on a poset

73