but

F 2

P

)

8

S

2

P

P

:

l

P

S

2

up

F (

S

up

F

!

)

l

P

up

F 2

up

F )

F 2

P

:

Theorem 4.146.

Let

Z

be a boolean lattice. For any

S

2

P

F

the condition

9F 2

F

:

S

=

?

F

is

equivalent to conjunction of the following items:

1.

S

is a free star on

F

;

2.

S

is lter closed.

Proof.

)

.

1. That

0

F

2

/

?

F

is obvious. For every

a; b

2

F

a

t

F

b

2

?

F ,

(

a

t

F

b

)

u

F

F

=

/ 0

F

,

(

a

u

F

F

)

t

F

(

b

u

F

F

) =

/ 0

F

,

a

u

F

F

=

/ 0

F

_

b

u

F

F

=

/ 0

F

,

a

2

?

F _

b

2

?

F

(taken into account the corollary

4.114

). So

?

F

is a free star on

F

.

2. We have

T

S

and need to prove that

d

F

T

u

F

F

=

/ 0

F

. Because

hF u

F

i

T

is a

generalized lter base,

0

F

2 hF u

F

i

T

,

d

F

hF u

F

i

T

= 0

F

,

d

F

T

u

F

F

=

/ 0

F

. So it is

left to prove

0

F

2

/

hF u

F

i

T

what follows from

T

S

.

(

.

Let

S

be a free star on

F

. Then for every

A; B

2

P

A; B

2

S

\

P

,

A; B

2

S

,

A

t

F

B

2

S

,

A

t

Z

B

2

S

,

A

t

Z

B

2

S

\

P

(taken into account the theorem

4.25

). So

S

\

P

is a free star on

P

.

Thus there exists

F 2

F

such that

@

F

=

S

\

P

. We have up

S

, X 2

S

(because

S

is

lter closed) for every

X 2

F

; then (taking into account properties of generalized lter bases)

X 2

S

,

up

S

,

up

@

F ,

8

X

2

up

X

:

X

u

F

F

=

/ 0

F

,

0

F

2

/

hF u

F

i

up

X ,

l

F

hF u

F

i

up

X

=

/ 0

F

,

F u

F

l

F

up

X

=

/ 0

F

,

F u

F

X

=

/ 0

F

,

X 2

?

F

:

72

Filters and filtrators