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Proposition 4.142.

If

Z

is bounded distributive lattice, then atomic elements of the ltrator

(

F

;

P

)

are prime.

[TODO: Generalize for meet-semilattices?]

Proof.

(

F

;

P

)

is with nitely join-closed core by the theorem

4.96

,

F

is a distributive lattice by

theorem

4.114

So we can apply proposition

4.52

.

The following theorem is essentially borrowed from [

18

]:

Theorem 4.143.

Let

Z

be a boolean lattice. Let

a

be a lter. Then the following are equivalent:

1.

a

is prime.

2. For every

A

2

Z

exactly one of

f

A; A

g

is in

a

.

3.

a

is an atom of

F

.

Proof.

(1)

)

(2).

Let

a

be prime. Then

A

t

Z

A

= 1

A

2

a

. Therefore

A

2

a

_

A

2

a

. But since

A

u

Z

A

= 0

Z

2

/

a

it is impossible

A

2

a

^

A

2

a

.

(2)

)

(3).

Obviously

a

=

/ 0

F

. Let a lter

b

@

a

. So

b

a

. Let

X

2

b

n

a

. Then

X

2

/

a

and thus

X

2

a

and consequently

X

2

b

. So

0

Z

=

X

u

Z

X

2

b

and thus

b

= 0

F

. So

a

is atomic.

(3)

)

(1).

By the previous proposition.

4.3.17 Some Criteria

Proposition 4.144.

Let

Z

be an atomic complete boolean lattice. Then the following conditions

are equivalent for any

F 2

F

:

1.

F 2

P

;

2.

8

S

2

P

F

:

¡

F u

F

F

F

S

=

/ 0

) 9K 2

S

:

F u

F

K

=

/ 0

;

3.

8

S

2

P

P

:

¡

F u

F

F

F

S

=

/ 0

) 9

K

2

S

:

F u

F

K

=

/ 0

.

Proof.

The ltrator

(

F

;

P

)

is semiltered by the corollary

4.95

star separable by

4.128

with

nitely meet-closed core by proposition

4.97

with separable core by theorem

4.112

.

P

is atomistic

because every atomic complete boolean lattice is atomistic.

F

is atomistic by theorem

4.137

.

So we can apply the theorem

4.53

.

Theorem 4.145.

If

Z

is a complete boolean lattice then for each

F 2

F

[TODO: Too similar to

the previous theorem (proposition

4.144

)! Also it seems that this theorem can be generalized.]

F 2

P

, 8

S

2

P

P

:

 

G

P

S

2

@

F )

S

\

@

F

=

/

;

!

:

Proof.

8

S

2

P

P

:

 

G

P

S

2

@

F )

S

\

@

F

=

/

;

!

,

8

S

2

P

P

:

 

G

P

S

2

/

@

F (

S

\

@

F

=

;

!

,

8

S

2

P

P

:

 

G

P

S

2

up

F ( h:i

S

 F

!

,

8

S

2

P

P

:

 

l

P

S

2

up

F (

S

up

F

!

;

4.3 Filters on a poset

71