background image

Let

A

t

P

B

2

S

h

@

i

S

. Then there exists

Q

2 h

@

i

S

such that

A

t

P

B

2

Q

. Then

A

2

Q

_

B

2

Q

,

consequently

A

2

S

h

@

i

S

_

B

2

S

h

@

i

S

. Let now

A

2

S

h

@

i

S

. Then there exists

Q

2 h

@

i

S

such

as

A

2

Q

, consequently

A

t

P

B

2

Q

and

A

t

P

B

2

S

h

@

i

S

.

4.3.15 More about the Lattice of Filters

Denition 4.133.

Atoms of

F

(for any poset

Z

) are called

ultralters

.

Denition 4.134.

Principal ultralters are also called

trivial ultralters

.

Theorem 4.135.

If

Z

is a bounded distributive lattice

[TODO: Generalize for meet-semilattices?]

with least element then

F

is an atomic lattice.

Proof.

Let

F 2

F

. Let choose (by Kuratowski's lemma) a maximal chain

S

from

0

F

to

F

. Let

S

0

=

S

n f

0

F

g

.

a

=

d

F

S

0

=

/ 0

F

by properties of generalized lter bases (the corollary

4.122

which uses

the fact that

Z

is a distributive lattice with least element). If

a

2

/

S

then the chain

S

can be extended

adding there element

a

because

0

F

@

a

v X

for any

X 2

S

0

what contradicts to maximality of the

chain. So

a

2

S

and consequently

a

2

S

0

. Obviously

a

is the minimal element of

S

0

. Consequently

(taking into account maximality of the chain) there is no

Y 2

F

such that

0

F

@

Y

@

a

. So

a

is an

atomic lter. Obviously

a

v F

.

Obvious 4.136.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is separable.

Theorem 4.137.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is an atomistic lattice.

Proof.

Because (used the theorem

3.20

)

F

is atomic (theorem

4.135

and separable.

Corollary 4.138.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is atomically separable.

Proof.

By theorem

3.19

.

Theorem 4.139.

When

Z

is a boolean lattice, the ltrator

(

F

;

P

)

is central.

Proof.

We can conclude that

F

is atomically separable (the corollary

4.138

), with separable core

(the theorem

4.112

), and with join-closed core (corollary

4.96

).

We need to prove

Z

(

F

) =

P

.

Let

X 2

Z

(

F

)

. Then there exists

Y 2

Z

(

F

)

such that

X u

F

Y

= 0

F

and

X t

F

Y

= 1

F

. Consequently

there is

X

2

up

X

such that

X

u

F

Y

= 0

F

; we also have

X

t

F

Y

= 1

F

. Suppose

X

A

X

. Then

there exists

a

2

atoms

F

X

such that

a

2

/

atoms

F

X

. We can conclude also

a

2

/

atoms

F

Y

(otherwise

X

u

F

Y

=

/ 0

F

). Thus

a

2

/

atoms

F

(

X t

F

Y

)

and consequently

X t

F

Y

=

/ 1

F

what is a contradiction.

We have

X

=

X

2

P

.

Let now

X

2

P

. Let

Y

=

X

. We have

X

u

P

Y

= 0

F

and

X

t

P

Y

= 1

F

. Thus

X

u

F

Y

=

d

P

f

X

u

P

Y

g

= 0

F

;

X

t

F

Y

=

X

t

P

Y

= 1

F

. We have shown that

X

2

Z

(

F

)

.

4.3.16 Atomic Filters

Proposition 4.140.

If

Z

is a meet-semilattice with least element, then

a

is an atom of

P

i

a

2

P

and

a

is an atom of

F

.

Proof.

It is semiltered by the corollary

4.95

nitely meet-closed by proposition

4.97

So we can

apply the theorem

4.49

.

Proposition 4.141.

If

Z

is a meet-semilattice with least element then,

a

2

F

is an atom of

F

i

up

a

=

@a

.

Proof.

It is semiltered by the corollary

4.95

,

F

is a meet-semilattice by the corollary

4.107

So

we can apply theorem

4.50

.

70

Filters and filtrators