background image

4.3.11 Distributivity of the Lattice of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.12 Filters over Boolean Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.12.1 Distributivity for an Element of Boolean Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.13 Generalized Filter Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.14 Stars for lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.14.1 Stars of Filters on Boolean Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.15 More about the Lattice of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.16 Atomic Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.17 Some Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.18 Filters and a Special Sublattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.19 Core Part and Atomic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.20 Complements and Core Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.21 Complementive Filters and Factoring by a Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.22 Pseudodierence of lters

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.4 Filters on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.4.1 Fréchet Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.4.2 Number of Filters on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.5 Some Counter-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.5.1 Weak and Strong Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.6 Open problems about lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.6.1 Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.6.2 Quasidierence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.6.3 Non-Formal Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5 Common knowledge, part 2 (topology)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.1.1 Open and closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.1.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.2 Pretopological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.2.1 Pretopology induced by a metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.3.1 Relationships between pretopologies and topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.3.1.1 Topological space induced by preclosure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.3.1.2 Preclosure space induced by topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.3.1.3 Topology induced by a metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5.4 Proximity spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6 Funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.1 Informal introduction into funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.2 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.2.1 Composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.3 Funcoid as continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.4 Lattices of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.5 More on composition of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.6 Domain and range of a funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.7 Categories of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.8 Specifying funcoids by functions or relations on atomic lters . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.9 Direct product of lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.10 Atomic funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.11 Complete funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.12 Funcoids corresponding to pretopologies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.13 Completion of funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.13.1 More on completion of funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.13.1.1 Open maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.14 Monovalued and injective funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6.15

T

0

-,

T

1

-,

T

2

-, and

T

3

-separable funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

Table of contents

7