background image

For boolean lattices free stars bijectively correspond to lters:

Theorem 4.129.

If

Z

is a boolean lattice, then for any set

S

2

P

P

there exists a lter

A

such

that

@

A

=

S

i

S

is a free star.

Proof.

)

.

That

0

P

2

/

S

is obvious. For every

A; B

2

A

A

t

P

B

2

S

,

(

A

t

P

B

)

u

F

A

=

/ 0

F

,

(

A

t

F

B

)

u

F

A

=

/ 0

F

,

(

A

u

F

A

)

t

F

(

B

u

F

A

) =

/ 0

F

,

A

u

F

A

=

/ 0

F

_

B

u

F

A

=

/ 0

F

,

A

2

S

_

B

2

S

(taken into account corollary

4.114

and theorem

4.25

).

(

.

0

P

2

/

S

and

8

A; B

2

S

: (

A

t

P

B

2

S

,

A

2

S

_

B

2

S

)

. Let

T

=

f

X

j

X

2

P

n

S

g

. We will

prove that

T

is a lter.

1

P

2

T

because

0

P

2

/

S

; so

T

is nonempty. To prove that

T

is a lter it is enough to show

8

X ; Y

2

P

: (

X ; Y

2

T

,

X

u

P

Y

2

T

)

. In fact,

X ; Y

2

T

,

X ; Y

2

/

S

,

:

(

X

2

S

_

Y

2

S

)

,

X

t

P

Y

2

/

S

,

X

t

P

Y

2

T

,

X

u

P

Y

2

T :

So

T

is a lter. To nish the proof we will show that

@T

=

S

. In fact, for every

X

2

P

X

2

@T

,

X

2

/

up

T

,

X

2

/

T

,

X

2

S:

Proposition 4.130.

If

Z

is a boolean lattice then

A v B ,

@

@

B

for every

A

;

B 2

F

.

Proof.

@

@

B ,

f

X

j

X

2

P

n Ag  f

X

j

X

2

P

n Bg ,

P

n A 

P

n B ,

A  B ,

A v B

:

Corollary 4.131.

@

is a straight monotone map if

Z

is a boolean lattice.

Theorem 4.132.

If

Z

is a boolean lattice then

@

F

F

S

=

S

h

@

i

S

for every

S

2

P

F

.

Proof.

For boolean lattices

@

is an order embedding from the poset

F

to the complete lattice

P

P

.

So accordingly the lemma

4.104

it is enough to prove that there exists

F 2

F

such that

@

F

=

S

h

@

i

S

.

To prove this it is enough to show that

0

P

2

/

S

h

@

i

S

and

8

A; B

2

S

:

¡

A

t

P

B

2

[

h

@

i

S

,

A

2

[

h

@

i

S

_

B

2

[

h

@

i

S

:

0

P

2

/

S

h

@

i

S

is obvious.

4.3 Filters on a poset

69