Proof.

(

.

Because

F

=

d

F

S

.

)

.

Let

K

2F

. Then (taken into account distributivity of

Z

and that

S

is nonempty) there exist

X

1

; :::; X

n

2

S

S

such that

X

1

u

Z

:::

u

Z

X

n

=

K

that is

"

X

1

u

P

:::

u

P

"

X

n

=

"

K

. Consequently

(by theorem

4.44

)

"

X

1

u

F

:::

u

F

"

X

n

=

"

K

. Replacing every

"

X

i

with such

X

i

2

S

that

X

i

2X

i

(this is obviously possible to do), we get a nite set

T

0

S

such that

d

F

T

0

v "

K

. From

this there exists

C 2

S

such that

C v

d

F

T

0

v "

K

and so

K

2 C

.

Corollary 4.122.

If

Z

is a distributive lattice with least element and

S

is a generalized lter base

of a lter

F

then

0

F

2

S

, F

= 0

F

.

Proof.

Substitute

0

F

as

K

.

Theorem 4.123.

Let

Z

be a distributive lattice with least element and

S

is a nonempty set of

lters on

Z

such that

F

0

u

F

:::

u

F

F

n

=

/ 0

F

for every

F

0

; :::;

F

n

2

S

. Then

d

F

S

=

/ 0

F

.

[TODO:

Generalize for arbitrary meet-semilattices?]

Proof.

Consider the set

S

0

=

fF

0

u

F

:::

u

F

F

n

j F

0

; :::;

F

n

2

S

g

:

Obviously

S

0

is nonempty and nitely meet-closed. So

S

0

is a generalized lter base. Obviously

0

F

2

/

S

. So by properties of generalized lter bases

d

F

S

0

=

/ 0

F

. But obviously

d

F

S

=

d

F

S

0

. So

d

F

S

=

/ 0

F

.

Corollary 4.124.

Let

Z

be a distributive lattice with least element and let

S

2

P

Z

such that

S

=

/

;

and

A

0

u

Z

:::

u

Z

A

n

=

/ 0

Z

for every

A

0

; :::; A

n

2

S

. Then

d

F

h"i

S

=

/ 0

F

.

Proof.

Because

(

F

;

Z

)

is nitely meet-closed (by the theorem

4.44

).

4.3.14 Stars for lters

Theorem 4.125.

Let

Z

be a bounded distributive lattice with greatest element. Then

@a

is a free

star for each

a

2

F

.

[TODO: Generalize for arbitrary meet-semilattices?]

Proof.

F

is a distributive lattice by the corollary

4.114

The ltrator

(

F

;

P

)

is nitely join-closed

by corollary

4.96

So we can apply the theorem

4.47

.

4.3.14.1 Stars of Filters on Boolean Lattices

In this section we will consider the set of lters

F

on a boolean lattice

Z

.

Note that

P

is also a boolean lattice. We will take complements on

P

without specifying that

the complement is taken on

P

.

Theorem 4.126.

If

Z

is a boolean lattice,

X

2

up

A ,

X

2

/

@

A

(where complement is taken on

the boolean lattice

P

) for every

X

2

P

,

A 2

F

.

Proof.

X

2

up

A,

X

w A,

X

F

A,

X

2

/

@

A

for any

X

2

P

(taking into account theorems

4.44

,

4.112

,

4.43

).

Corollary 4.127.

If

Z

is a boolean lattice and

A 2

F

then

1.

@

A

=

f

X

j

X

2

P

n

up

Ag

;

2. up

A

=

f

X

j

X

2

P

n

@

Ag

(where complement is taken on the boolean lattice

P

).

Corollary 4.128.

If

Z

is a boolean lattice,

@

is an injection.

68

Filters and filtrators