background image

X

i

2

P

i

for some

P

i

2

S

;

C

t

Z

X

i

2

P

i

;

C

t

Z

X

i

2

S

S

; consequently

C

2

R

.

We have proved that that

R

is a lter base and an upper set. So

R

is a lter.

Let

A 2

S

. Then

S

S

;

R

 f

K

0

u

Z

:::

u

Z

K

n

j

K

i

2 A

where

i

= 0

; :::; n

for

n

2

N

g

=

A

:

Consequently

A w

R

.

Let now

B 2

F

and

8A 2

S

:

A w B

. Then

8A 2

S

:

A  B

;

S

S

. From this

T

for every

nite set

T

S

S

. Consequently

B 3

d

Z

T

. Thus

R

;

B v

R

.

Comparing we get

d

F

S

=

R

.

Theorem 4.111.

If

Z

is a distributive lattice then for any

F

0

; :::;

F

m

2

F

(

m

2

N

)

F

0

u

F

:::

u

F

F

m

=

f

K

0

u

Z

:::

u

Z

K

m

j

K

i

2 F

i

where

i

= 0

; :::; m

g

:

Proof.

Let's denote the right part of the equality to be proven as

R

. First we will prove that

R

is a lter. Obviously

R

is nonempty.

Let

A; B

2

R

. Then

A

=

X

0

u

Z

:::

u

Z

X

m

,

B

=

Y

0

u

Z

:::

u

Z

Y

m

where

X

i

; Y

i

2 F

i

.

A

u

Z

B

= (

X

0

u

Z

Y

0

)

u

Z

:::

u

Z

(

X

m

u

Z

Y

m

)

;

consequently

A

u

Z

B

2

R

.

Let lter

C

w

A

2

R

C

=

A

t

Z

C

= (

X

0

t

Z

C

)

u

Z

:::

u

Z

(

X

m

t

Z

C

)

2

R:

So

R

is a lter.

Let

P

i

2 F

i

. Then

P

i

2

R

because

P

i

= (

P

i

t

Z

P

0

)

u

Z

:::

u

Z

(

P

i

t

Z

P

m

)

. So

F

i

R

;

F

i

w

R

.

Let now

B 2

F

and

8

i

2 f

0

; :::; m

g

:

F

i

w B

. Then

8

i

2 f

0

; :::; m

g

:

F

i

 B

.

L

i

2 B

for every

L

i

2 F

i

.

L

0

u

Z

:::

u

Z

L

m

2 B

. So

R

;

B v

R

.

So

F

0

u

F

:::

u

F

F

m

=

R

.

4.3.10 Separability of Core for Primary Filtrators

Theorem 4.112.

A primary ltrator with least element, whose core is a distributive lattice, is

with separable core.

[TODO: Is distributivity necessary? I suspect it for every meet-semilattice.]

Proof.

Let

F

B

where

A

;

B 2

F

.

A u

F

B

=

f

A

u

Z

B

j

A

2 A

; B

2 Bg

:

So

0

2 A u

F

B ,

9

A

2 A

; B

2 B

:

A

u

Z

B

= 0

,

9

A

2 A

; B

2 B

:

"

A

u

P

"

B

= 0

F

,

9

A

2 A

; B

2 B

:

"

A

u

F

"

B

= 0

F

,

9

A

2

up

A

; B

2

up

B

:

A

u

F

B

= 0

F

(used proposition

4.97

).

4.3.11 Distributivity of the Lattice of Filters

Theorem 4.113.

If

Z

is a distributive lattice with greatest element,

S

2

P

F

and

A 2

F

then

[TODO: Can it be generalized for meet-semilattices (use generalized innite meet formula in
rewrite-plan.pdf)? Also corollaries.]

A t

F

l

F

S

=

l

F

hA t

F

i

S:

66

Filters and filtrators