background image

4.3.9 Formulas for Meets and Joins of Filters

Lemma 4.104.

If

f

is an order embedding from a poset

A

to a complete lattice

B

and

S

2

P

A

and there exists such

F 2

A

that

f

F

=

F

B

h

f

i

S

, then

F

A

S

exists and

f

F

A

S

=

F

B

h

f

i

S

.

Proof.

f

is an order isomorphism from

A

to

B

j

h

f

i

A

.

f

F 2

B

j

h

f

i

A

.

Consequently,

F

B

h

f

i

S

2

B

j

h

f

i

A

and

F

B

j

h

f

i

A

h

f

i

S

=

F

B

h

f

i

S

.

f

F

A

S

=

F

B

j

h

f

i

A

h

f

i

S

because

f

is an order isomorphism.

Combining,

f

F

A

S

=

F

B

h

f

i

S

.

Corollary 4.105.

If

B

is a complete lattice and

A

is its subset and

S

2

P

A

and

F

B

S

2

A

, then

F

A

S

exists and

F

A

S

=

F

B

S

.

Theorem 4.106.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element 1 then

F

F

S

exists and

G

F

S

=

\

S

for every

S

2

P

F

.

Proof.

Taking into account the corollary of the lemma, it is enough to prove that there exists

F 2

F

such that

F

=

T

S

, that is that

R

=

T

S

is a lter.

R

is nonempty because

1

2

R

. Let

A; B

2

R

; then

8F 2

S

:

A; B

2 F

, consequently

8F 2

S

:

A

u

Z

B

2 F

. Consequently

A

u

Z

B

2

T

S

=

R

. So

R

is a lter base. Let

X

2

R

and

X

v

Y

2

Z

; then

8F 2

S

:

X

2 F

;

8F 2

S

:

Y

2 F

;

Y

2

R

. So

R

is an upper set.

Corollary 4.107.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element then

F

is a complete lattice.

Corollary 4.108.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element then for any

A

;

B 2

F

A t

F

B

=

A \ B

:

We will denote meets and joins on the lattice of lters just as

u

and

t

.

Theorem 4.109.

If

Z

is a join-semilattice then

F

is a join-semilattice and for any

A

;

B 2

F

A t

F

B

=

A \ B

:

Proof.

Taking into account the corollary of the lemma, it is enough to prove

R

=

A \ B

is a lter.

R

is nonempty because there exists

X

2 A

and

Y

2 B

and

R

3

X

t

Z

Y

.

Let

A; B

2

R

. Then

A; B

2 A

; so there exists

C

2 A

such that

C

v

A

^

C

v

B

. Analogously

there exists

D

2 B

such that

D

v

A

^

D

v

B

. Let

E

=

C

t

Z

D

. Then

E

2 A

and

E

2 B

;

E

2

R

and

E

v

A

^

E

v

B

. So

R

is a lter base.

That

R

is an upper set is obvious.

Theorem 4.110.

If

Z

is a distributive lattice then for

S

2

P

F

n f;g

l

F

S

=

K

0

u

Z

:::

u

Z

K

n

j

K

i

2

[

S

where

i

= 0

; :::; n

for

n

2

N

 

:

Proof.

Let's denote the right part of the equality to be proven as

R

. First we will prove that

R

is a lter.

R

is nonempty because

S

is nonempty.

Let

A; B

2

R

. Then

A

=

X

0

u

Z

:::

u

Z

X

k

,

B

=

Y

0

u

Z

:::

u

Z

Y

l

where

X

i

; Y

j

2

S

S

. So

A

u

Z

B

=

X

0

u

Z

:::

u

Z

X

k

u

Z

Y

0

u

Z

:::

u

Z

Y

l

2

R:

Let lter

C

w

A

2

R

. Consequently (distributivity used)

C

=

C

t

Z

A

= (

C

t

Z

X

0

)

u

Z

:::

u

Z

(

C

t

Z

X

k

)

:

4.3 Filters on a poset

65