 Theorem 4.94.

A

=

d

F

h"iA

for every lter

A

on a poset.

Proof.

A

is obviously a lower bound for

h"iA

. Let

B

be a lower bound for

h"iA

that is

8

K

2 A

:

B v "

K

that is

8

K

2 A

:

K

2 B

that is

A  B

that is

B v A

. So

A

is the greatest lower bound for

h"iA

.

Corollary 4.95.

Every primary ltrator is ltered.

Corollary 4.96.

Every primary ltrator is with join-closed core.

Proof.

Theorem

4.25

.

Proposition 4.97.

The ltrator

(

F

;

P

)

is with nitely meet-closed core if

Z

is a meet-semilattice.

Proof.

Theorem

4.44

.

4.3.5 Alignment

Obvious 4.98.

1. If

Z

has least element, the primary ltrator is down-aligned.

2. If

Z

has greatest element, the primary ltrator is up-aligned.

4.3.6 Co-separability of Core for Primary Filtrators

Proposition 4.99.

Every primary ltrator over a meet innite distributive complete lattice is

with co-separable core.

Proof.

It is up-aligned, ltered. So we can apply the theorem

4.73

.

4.3.7 Core Part

Proposition 4.100.

Cor

0

a

=

Cor

a

for every lter

a

on a complete lattice.

Proof.

By the theorem

4.34

and corollary

4.95

.

Proposition 4.101.

Cor

a

v

a

for every lter

a

on a complete lattice.

Proof.

By the theorem

4.29

and corollary

4.95

.

Proposition 4.102.

Cor

a

=

max down

a

for every lter

a

on a complete lattice.

Proof.

Proposition

4.100

obvious

4.35

corollary

4.96

.

4.3.8 Intersecting and Joining with an Element of the Core

Theorem 4.103.

For a ltrator

(

F

;

P

)

where

Z

is a boolean lattice, for every

B

2

P

,

A 2

F

:

1.

B

F

A ,

B

w A

;

2.

B

F

A ,

B

v A

if

Z

is a complete lattice.

Proof.

1. Using theorem

4.43

obvious

4.98

proposition

4.97

theorem

4.112

.

2. Using theorem

4.43

obvious

4.98

corollary

4.96

theorem

4.73

.

64

Filters and filtrators