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Let

X

u

Y

2

F

; then

X ; Y

2

F

because

F

is an upper set.

(3)

)

(2).

Let

8

X ; Y

2

Z

: (

X ; Y

2

F

,

X

u

Y

2

F

)

:

Then

8

X ; Y

2

F

:

X

u

Y

2

F

. Let

X

2

F

and

X

v

Y

2

Z

. Then

X

u

Y

=

X

2

F

. Consequently

X ; Y

2

F

. So

F

is an upper set.

Proposition 4.83.

Let

S

be a lter base on a meet-semilattice. If

A

0

; :::; A

n

2

S

(

n

2

N

), then

9

C

2

S

:

C

v

A

0

u

:::

u

A

n

:

Proof.

It can be easily proved by induction.

Proposition 4.84.

If

Z

is a meet-semilattice and

S

is a lter base on it,

A

2

Z

, then

h

A

u i

S

is

also a lter base.

Proof.

h

A

u i

S

=

/

;

because

S

=

/

;

.

Let

X ; Y

2 h

A

u i

S

. Then

X

=

A

u

X

0

and

Y

=

A

u

Y

0

where

X

0

; Y

0

2

S

. There exists

Z

0

2

S

such that

Z

0

v

X

0

u

Y

0

. So

X

u

Y

=

A

u

X

0

u

Y

0

w

A

u

Z

0

2 h

A

u i

S

.

4.3.3 Order of lters. Principal lters

I will make the set of lters

F

into a poset by the order dened by the formula:

a

v

b

,

a

b

.

Denition 4.85.

The

principal lter

corresponding to an element

a

2

Z

is

"

a

=

f

x

2

Z

j

x

w

a

g

:

Elements of

P

=

h"i

Z

are called

principal lters

.

Obvious 4.86.

Principal lters are lters.

Obvious 4.87.

"

is an order embedding from

Z

to

F

.

Corollary 4.88.

"

is an order isomorphism between

Z

and

P

.

Denition 4.89.

For every poset

Z

I call

(

F

;

P

)

the

primary ltrator

(for the base

Z

).

Proposition 4.90.

"

K

w A ,

K

2 A

.

Proof.

"

K

w A , "

K

 A ,

K

2 A

.

Proposition 4.91.

up

a

=

h"i

a

for an element

a

of a primary ltrator.

Proof.

For every

L

2

P

we have

L

=

"

K

for some

K

2

Z

and

L

2

up

a

,

L

w

a

, "

K

w

a

,

K

2

a

,

L

2 h"i

a

.

4.3.3.1 Minimal and maximal lters

Obvious 4.92.

The lter

0

F

=

Z

(equal to the principal lter for the least element of

Z

if it exists)

is the least element of the poset of lters.

Proposition 4.93.

If there exists greatest element

1

Z

of the poset

Z

then

1

F

=

f

1

Z

g

is the greatest

element of

F

.

Proof.

Take into account that lters are nonempty.

4.3.4 Primary ltrator is ltered

[TODO: Can the proof be simplied using the fact that ltered is the same as semiltered?]

4.3 Filters on a poset

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