background image

Really,

A

t

A

(

A

u

A

x

) = (

A

t

A

A

)

u

A

(

A

t

A

x

) = (

A

t

Z

A

)

u

A

(

A

t

A

x

) = 1

u

A

(

A

t

A

x

) =

A

t

A

x

w

x

and

A

u

A

(

A

t

A

y

) = (

A

u

A

A

)

t

A

(

A

u

A

y

) = (

A

u

Z

A

)

t

A

(

A

u

A

y

) = 1

t

A

(

A

u

A

y

) =

A

u

A

y

v

y

.

Theorem 4.76.

Let

(

A

;

Z

)

be an up-aligned nitely join-closed and nitely meet-closed distrib-

utive lattice ltrator over a boolean lattice. Then

A

u

A

F

A

S

=

F

A

h

A

u

A

i

S

for every

A

2

Z

and

every set

S

2

P

A

.

Proof.

Direct consequence of the lemma.

4.3 Filters on a poset

4.3.1 Filters on posets

Let

Z

be a poset.

Denition 4.77.

Filter base

is a nonempty subset

F

of

Z

such that

8

X ; Y

2

F

9

Z

2

F

: (

Z

v

X

^

Z

v

Y

)

:

Obvious 4.78.

A nonempty chain is a lter base.

Denition 4.79.

Filter

is a subset of

Z

which is both a lter base and an upper set.

I will denote the set of lters (for a given or implied poset

Z

) as

F

and call

F

the set of lters

over the poset

Z

.

Proposition 4.80.

If

1

is the maximal element of

Z

then

1

2

F

for every lter

F

.

Proof.

If

1

2

/

F

then

8

K

2

Z

:

K

2

/

F

and so

F

is empty what is impossible.

Proposition 4.81.

Let

S

be a lter base on a poset. If

A

0

; :::; A

n

2

S

(

n

2

N

), then

9

C

2

S

: (

C

v

A

0

^

:::

^

C

v

A

n

)

:

Proof.

It can be easily proved by induction.

Dual of lters is called

ideals

. We do not use ideals in this work however.

4.3.2 Filters on meet-semilattices

Theorem 4.82.

If

Z

is a meet-semilattice and

F

is a nonempty subset of

Z

then the following

conditions are equivalent:

1.

F

is a lter.

2.

8

X ; Y

2

F

:

X

u

Y

2

F

and

F

is an upper set.

3.

8

X ; Y

2

Z

: (

X ; Y

2

F

,

X

u

Y

2

F

)

.

Proof.

(1)

)

(2).

Let

F

be a lter. Then

F

is an upper set. If

X ; Y

2

F

then

Z

v

X

^

Z

v

Y

for some

Z

2

F

. Because

F

is an upper set and

Z

v

X

u

Y

then

X

u

Y

2

F

.

(2)

)

(1).

Let

8

X ; Y

2

F

:

X

u

Y

2

F

and

F

be an upper set. We need to prove that

F

is a

lter base. But it is obvious taking

Z

=

X

u

Y

(we have also taken into account that

F

=

/

;

).

(2)

)

(3).

Let

8

X ; Y

2

F

:

X

u

Y

2

F

and

F

be an upper set. Then

8

X ; Y

2

Z

: (

X ; Y

2

F

)

X

u

Y

2

F

)

:

62

Filters and filtrators