background image

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

(

a

t

A

b

)

exists.

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

F

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

a

t

A

b

g

(used proposition

4.67

).

By theorem

4.49

we have Cor

0

(

a

t

A

b

) =

F

Z

(

atoms

A

(

a

t

A

b

)

\

Z

) =

F

Z

((

atoms

A

a

[

atoms

A

b

)

\

Z

) =

F

Z

((

atoms

A

a

\

Z

)

[

(

atoms

A

b

\

Z

)) =

F

Z

(

atoms

A

a

\

Z

)

t

Z

F

Z

(

atoms

A

b

\

Z

)

(used the

theorem

3.30

). Again using theorem

4.49

we get

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

F

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

a

g t

Z

F

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

b

g

=

Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

(again used proposition

4.67

).

Theorem 4.72.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltered starrish down-aligned complete lattice ltrator with nitely

meet-closed, separable core which is a complete atomistic boolean lattice. Then

(

a

t

A

b

)

=

a

u

Z

b

.

Proof.

(

a

t

A

b

)

=

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

Cor

0

a

t

Z

Cor

b

=

Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

=

a

u

Z

b

(used theorem

4.62

).

4.2.12 Co-Separability of Core

Theorem 4.73.

Let

(

A

;

Z

)

be an up-aligned ltered ltrator whose core is a meet innite distrib-

utive complete lattice. Then this ltrator is with co-separable core.

Proof.

Our ltrator is with join-closed core (theorem

4.25

).

Let

a; b

2

A

. Cor

a

and Cor

b

exist since

Z

is a complete lattice.

Cor

a

2

down

a

and Cor

b

2

down

b

by the corollary

4.30

since our ltrator is ltered. So we have

9

x

2

down

a; y

2

down

b

:

x

t

A

y

= 1

(

Cor

a

t

A

Cor

b

= 1

,

(by nite join-closedness of the core)

Cor

a

t

Z

Cor

b

= 1

,

l

Z

up

a

t

Z

l

Z

up

b

= 1

,

(by innite distributivity)

l

Z

f

x

t

Z

y

j

x

2

up

a; y

2

up

b

g

= 1

,

8

x

2

up

a; y

2

up

b

:

x

t

Z

y

= 1

,

(by nite join-closedness of the core)

8

x

2

up

a; y

2

up

b

:

x

t

A

y

= 1

(

a

t

A

b

= 1

:

4.2.13 Filtrators over Boolean Lattices

Proposition 4.74.

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned and up-aligned nitely meet-closed and nitely

join-closed distributive lattice ltrator and

Z

be a boolean lattice. Then

a

n

A

B

=

a

u

A

B

for every

a

2

A

,

B

2

Z

.

Proof.

(

a

u

A

B

)

t

A

B

= (

a

t

A

B

)

u

A

(

B

t

A

B

) = (

a

t

A

B

)

u

A

(

B

t

Z

B

) = (

a

t

A

B

)

u

A

1 =

a

t

A

B

.

(

a

u

A

B

)

u

A

B

=

a

u

A

(

B

u

A

B

) =

a

u

A

(

B

u

Z

B

) =

a

u

A

0 = 0

.

So

a

u

A

B

is the dierence of

a

and

B

.

4.2.13.1 Distributivity for an Element of Boolean Core

Lemma 4.75.

Let

(

A

;

Z

)

be an up-aligned nitely join-closed and nitely meet-closed distributive

lattice ltrator over a boolean lattice. Then

A

u

A

is a lower adjoint of

A

t

A

for every

A

2

Z

.

Proof.

We will use the theorem

2.98

.

That

A

u

A

and

A

t

A

are monotone is obvious.

We need to prove (for every

x; y

2

A

) that

x

v

A

t

A

(

A

u

A

x

)

and

A

u

A

(

A

t

A

y

)

v

y:

4.2 Filtrators

61