 Knowing core part and edge part or dual core part and dual edge part of a lter, the lter can

be restored by the formulas:

a

=

Cor

a

t

A

Edg

a

and

a

=

Cor

0

a

t

A

Edg

0

a:

4.2.10 Core Part and Atomic Elements

Proposition 4.67.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator with join-closed core and

Z

be an atomistic lattice.

Then for every

a

2

A

such that Cor

0

a

exists we have

Cor

0

a

=

G

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

a

g

:

Proof.

Cor

0

a

=

G

Z

f

A

2

Z

j

A

v

a

g

=

G

Z

(

G

Z

atoms

Z

A

j

A

2

Z

; A

v

a

)

=

G

Z

[

f

atoms

Z

A

j

A

2

Z

; A

v

a

g

=

G

Z

f

x

j

x

is an atom of

Z

; x

v

a

g

:

4.2.11 Distributivity of Core Part over Lattice Operations

Theorem 4.68.

If

(

A

;

Z

)

is a join-closed ltrator and

A

is a meet-semilattice and

Z

is a complete

lattice, then for every

a; b

2

A

Cor

0

(

a

u

A

b

) =

Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b:

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

(

a

u

A

b

)

exists.

We have Cor

0

p

v

p

for every

p

2

A

because our ltrator is with join-closed core.

Obviously Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

a

and Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

b

.

If

x

v

Cor

0

a

and

x

v

Cor

0

b

for some

x

2

Z

then

x

v

a

and

x

v

b

, thus

x

v

a

u

A

b

and

x

v

Cor

0

(

a

u

A

b

)

.

Theorem 4.69.

If

(

A

;

Z

)

is a join-closed ltrator and both

A

and

Z

are complete lattices, then

for every

S

2

P

A

Cor

0

l

A

S

=

l

Z

h

Cor

0

i

S:

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

d

A

S

exists.

We have Cor

0

p

v

p

for every

p

2

A

because our ltrator is with join-closed core.

Obviously Cor

0

d

A

S

v

Cor

0

a

for every

a

2

S

.

If

x

v

Cor

0

a

for every

a

2

S

for some

x

2

Z

then

x

v

a

, thus

x

v

d

A

S

and

x

v

Cor

0

d

A

S

.

Corollary 4.70.

If

(

A

;

Z

)

is a join-closed ltrator and both

A

and

Z

are complete lattices, then

for every

S

2

P

Z

Cor

0

l

A

S

=

l

Z

S:

Theorem 4.71.

Let

(

A

;

Z

)

be a semiltered down-aligned ltrator with nitely meet-closed core

Z

which is a complete atomistic lattice and

A

is a complete starrish lattice, then Cor

0

(

a

t

A

b

) =

Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

for every

a; b

2

A

.

60

Filters and filtrators