background image

3.5.2 Dagger categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.5.2.1 Some special classes of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.6 Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.7 A proposition about binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8 Innite associativity and ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.2 Used notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.2.1 Currying and uncurrying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

The customary denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

Currying and uncurrying with a dependent variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.2.2 Functions with ordinal numbers of arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.3 On sums of ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4 Ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.2 Concatenation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.3 Finite example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.4 The denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.5 Denition with composition for every multiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.6 Denition with shifting arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.8.4.7 Associativity of ordinated product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

Innite associativity implies associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

Concatenation is associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4 Filters and ltrators

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.1 Introduction to lters and ltrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.1.1 Filters on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.1.2 Intro to lters on a meet-semilattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.1.3 Intro to lters on a poset

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.1.4 Intro to ltrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2 Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.1 Core Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.2 Filtrators with Separable Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.3 Intersection and Joining with an Element of the Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.4 Characterization of Finitely Meet-Closed Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.5 Stars of Elements of Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.6 Atomic Elements of a Filtrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.7 Prime Filtrator Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.8 Some Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.9 Complements and Core Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.10 Core Part and Atomic Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.11 Distributivity of Core Part over Lattice Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.12 Co-Separability of Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.13 Filtrators over Boolean Lattices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.2.13.1 Distributivity for an Element of Boolean Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3 Filters on a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.1 Filters on posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.2 Filters on meet-semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.3 Order of lters. Principal lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.3.1 Minimal and maximal lters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.4 Primary ltrator is ltered

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.5 Alignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.6 Co-separability of Core for Primary Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.7 Core Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.8 Intersecting and Joining with an Element of the Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.9 Formulas for Meets and Joins of Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

4.3.10 Separability of Core for Primary Filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

6

Table of contents