background image

(

.

We will assume that cardinality of a set is an ordinal dened by von Neumann cardinal

assignment (what is a standard practice in ZFC). Recall that

 < 

,

2

for ordinals

,

.

We will take it as given that for every nonempty chain

T

2

P

S

we have

d

T

2

S

.

We will prove the following statement: If card

S

=

n

then

S

is lter closed, for any cardinal

n

.

Instead we will prove it not only for cardinals but for wider class of ordinals: If card

S

=

n

then

S

is lter closed, for any ordinal

n

.

We will prove it using transnite induction by

n

.

For nite

n

we have

d

T

2

S

because

T

S

has minimal element.

Let card

T

=

n

be an innite ordinal.

Let the assumption hold for every

m

2

card

T

.

We can assign

T

=

f

a

j

2

card

T

g

for some

a

because card card

T

=

card

T

.

Consider

2

card

T

.

Let

P

=

f

a

j

2

g

. Let

b

=

d

P

. Obviously

b

=

d

[

P

]

u

. We have

card

[

P

]

u

=

card

P

=

card

 <

card

T

(used the lemma and von Neumann cardinal assignment). By the assumption of induction

b

2

S

.

8

2

card

T

:

P

T

and thus

b

w

d

T

.

It is easy to see that the set

f

P

j

2

card

T

g

is a chain. Consequently

f

b

j

2

card

T

g

is a chain.

By the theorem conditions

b

=

d

f

b

j

2

card

T

g 2

S

(taken into account that

b

2

S

by the assumption of induction).

Obviously

b

w

d

T

.

b

v

b

and so

8

2

card

T ; 

2

:

b

v

a

. Let

2

card

T

. Then (because card

T

is limit

ordinal, see [

41

]) there exists

2

card

T

such that

2

2

card

T

. So

b

v

a

for every

2

card

T

. Thus

b

v

d

T

.

Finally

d

T

=

b

2

S

.

4.2.9 Complements and Core Parts

Lemma 4.59.

If

(

A

;

Z

)

is a ltered, up-aligned ltrator with co-separable core which is a complete

lattice, then for any

a; c

2

A

c

A

a

,

c

A

Cor

a:

Proof.

)

.

If

c

A

a

then by co-separability of the core exists

K

2

down

a

such that

c

A

K

. To nish

the proof we will show that

K

v

Cor

a

. To show this is enough to show that

8

X

2

up

a

:

K

v

X

what is obvious.

(

.

Cor

a

v

a

(by the theorem

4.29

using that our ltrator is ltered).

Theorem 4.60.

If

(

A

;

Z

)

is a ltered up-aligned complete lattice ltrator with co-separable core

which is a complete boolean lattice, then

a

+

=

Cor

a

for every

a

2

A

.

Proof.

Our ltrator is with join-closed core (theorem

4.25

).

a

+

=

l

A

f

c

2

A

j

c

t

A

a

= 1

A

g

=

l

A

f

c

2

A

j

c

t

A

Cor

a

= 1

A

g

=

l

A

f

c

2

A

j

c

w

Cor

a

g

=

Cor

a

58

Filters and filtrators