 4.2.8 Some Criteria

Theorem 4.53.

For a semiltered, star-separable, down-aligned ltrator

(

A

;

Z

)

with nitely meet

closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice and both

Z

and

A

are atomistic

lattices the following conditions are equivalent for any

F 2

A

:

1.

F 2

Z

;

2.

8

S

2

P

A

:

¡

F u

A

F

A

S

=

/ 0

) 9K 2

S

:

F u

A

K

=

/ 0

;

3.

8

S

2

P

Z

:

¡

F u

A

F

A

S

=

/ 0

) 9

K

2

S

:

F u

A

K

=

/ 0

.

Proof.

Our ltrator is with join-closed core (theorem

4.25

).

(1)

)

(2).

Let

F 2

Z

. Then (taking into account the proposition

4.43

)

F u

A

G

A

S

=

/ 0

, Fw

G

A

S

) 9K 2

S

:

FwK , 9K 2

S

:

F u

A

K

=

/ 0

:

(2)

)

(3).

Obvious.

(3)

)

(1).

Let the formula (3) be true. Then for

L

2

Z

and

S

=

atoms

Z

L

it takes the form

F u

A

G

A

atoms

Z

L

=

/ 0

) 9

K

2

S

:

F u

A

K

=

/ 0

that is

F u

A

L

=

/ 0

) 9

K

2

S

:

F u

A

K

=

/ 0

because

F

A

atoms

Z

L

=

F

Z

atoms

Z

L

=

L

. That

is

F u

A

L

=

/ 0

) F u

A

K

L

=

/ 0

where

K

L

2

S

. Thus

K

L

is an atom of both

A

and

Z

(see the

theorem

4.49

), so having

F u

A

L

=

/ 0

) F w

K

L

. Let

F

=

G

Z

f

K

L

j

L

2

Z

;

F u

A

L

=

/ 0

g

:

Then

F

=

G

A

f

K

L

j

L

2

Z

;

F u

A

L

=

/ 0

g

:

Obviously

F

v F

. We have

L

u

A

F

=

/ 0

)

K

L

u

Z

F

=

/ 0

)

L

u

Z

F

=

/ 0

)

L

u

A

F

=

/ 0

, thus by

star separability of our ltrator

F v

F

and so

F

=

F

2

Z

.

Denition 4.54.

Let

S

be a subset of a meet-semilattice. The

lter base generated by

S

is the set

[

S

]

u

=

f

a

0

u

:::

u

a

n

j

a

i

2

S ; i

= 0

;

1

; :::

g

:

Lemma 4.55.

The set of all nite subsets of an innite set

A

has the same cardinality as

A

.

Proof.

Let denote the number of

n

-element subsets of

A

as

s

n

. Obviously

s

n

6

card

A

n

=

card

A

.

Then the number

S

of all nite subsets of

A

is equal to

s

0

+

s

1

+

:::

6

card

A

+

card

A

+

:::

=

card

A

.

That

S

>

card

A

is obvious. So

S

=

card

A

.

Lemma 4.56.

A lter base generated by an innite set has the same cardinality as that set.

Proof.

From the previous lemma.

Denition 4.57.

Let

A

be a complete lattice. A set

S

2

P

A

is

lter-closed

when for every lter

base

T

2

P

S

we have

d

T

2

S

.

Theorem 4.58.

A subset

S

of a complete lattice is lter-closed i for every nonempty chain

T

2

P

S

we have

d

T

2

S

.

Proof.

(proof sketch by Joel David Hamkins)

)

.

Because every nonempty chain is a lter base.

4.2 Filtrators

57