background image

Denition 4.48.

I call a ltrator

star-separable

when its core is a separation subset of its base.

4.2.6 Atomic Elements of a Filtrator

See [

4

and [

9

for more detailed treatment of ultralters and prime lters.

Theorem 4.49.

Let

(

A

;

Z

)

be a semiltered down-aligned ltrator with nitely meet-closed core

Z

which is a meet-semilattice. Then

a

is an atom of

Z

i

a

2

Z

and

a

is an atom of

A

.

Proof.

(

.

Obvious.

)

.

We need to prove that if

a

is an atom of

Z

then

a

is an atom of

A

. Suppose the contrary

that

a

is not an atom of

A

. Then there exists

x

2

A

such that

0 =

/

x

@

a

. Because up is a

straight monotone map to the dual of the poset

P

Z

(obvious

4.24

), up

a

up

x

. So there

exists

K

2

up

x

such that

K

2

/

up

a

. Also

a

2

up

x

. We have

K

u

Z

a

=

K

u

A

a

2

up

x

;

K

u

Z

a

=

/ 0

and

K

u

Z

a

@

a

. So

a

is not an atom of

Z

.

Theorem 4.50.

Let

(

A

;

Z

)

be a semiltered down-aligned ltrator and

A

is a meet-semilattice.

Then

a

2

A

is an atom of

A

i up

a

=

@a

.

Proof.

)

.

Let

a

be an atom of

A

. up

a

@a

because

a

=

/ 0

. up

a

@a

because for any

K

2

A

K

2

up

a

,

K

w

a

,

K

u

A

a

=

/ 0

,

K

2

@a:

(

.

Let up

a

=

@a

. Then

a

=

/ 0

. Consequently for every

x

2

A

we have

0

@

x

@

a

)

x

u

A

a

=

/ 0

)

8

K

2

up

x

:

K

2

@a

)

8

K

2

up

x

:

K

2

up

a

)

up

x

up

a

)

x

w

a:

So

a

is an atom of

A

.

4.2.7 Prime Filtrator Elements

Denition 4.51.

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned ltrator.

Prime

ltrator elements are such

a

2

A

that up

a

is a free star.

Proposition 4.52.

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned ltrator with nitely join-closed core, where

A

is a

starrish join-semilattice and

Z

is a join-semilattice. Then atomic elements of this ltrator are prime.

Proof.

Let

a

be an atom of the lattice

A

. We have for every

X ; Y

2

Z

X

t

Z

Y

2

up

a

,

X

t

A

Y

2

up

a

,

X

t

A

Y

w

a

,

X

t

A

Y

/

A

a

,

X

/

A

a

_

Y

/

A

a

,

X

w

a

_

Y

w

a

,

X

2

up

a

_

Y

2

up

a:

56

Filters and filtrators