background image

2.

B

A

A ,

B

v A

if it is up-aligned, with nitely join-closed and co-separable core.

Proof.

We will prove only the rst as the second is dual.

B

A

A ,

9

A

2

up

A

:

B

A

A

,

9

A

2

up

A

:

B

u

A

A

= 0

,

9

A

2

up

A

:

B

u

Z

A

= 0

,

9

A

2

up

A

:

B

w

A

,

B

2

up

A ,

B

w A

:

4.2.4 Characterization of Finitely Meet-Closed Filtrators

Theorem 4.44.

The following are equivalent for a ltrator

(

A

;

Z

)

whose core is a meet semilattice

such that

8

a

2

A

:

up

a

=

/

;

:

1. The ltrator is nitely meet-closed.
2. up

a

is a lter for every

a

2

A

.

Proof.

(1)

)

(2).

Let

X ; Y

2

up

a

. Then

X

u

Z

Y

=

X

u

A

Y

w

a

. That up

a

is an upper set is obvious.

So taking into account that up

a

=

/

;

, up

a

is a lter.

(2)

)

(1).

It is enough to prove that

a

v

A; B

)

a

v

A

u

Z

B

for every

A; B

2

A

. Really:

a

v

A; B

)

A; B

2

up

a

)

A

u

Z

B

2

up

a

)

a

v

A

u

Z

B:

4.2.5 Stars of Elements of Filtrators

Denition 4.45.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator.

Core star

of an element

a

of a ltrator is

@a

=

f

x

2

Z

j

x

/

A

a

g

:

Proposition 4.46.

up

a

@a

for any non-least element

a

of a ltrator.

Proof.

For any element

X

2

Z

X

2

up

a

)

a

v

X

^

a

v

a

)

X

/

A

a

)

X

2

@a:

Theorem 4.47.

Let

(

A

;

Z

)

be a distributive lattice ltrator with least element and nitely join-

closed core which is a join semilattice. Then

@a

is a free star for each

a

2

A

.

Proof.

For every

A; B

2

Z

A

t

Z

B

2

@a

,

A

t

A

B

2

@a

,

(

A

t

A

B

)

u

A

a

=

/ 0

A

,

(

A

u

A

a

)

t

A

(

B

u

A

a

) =

/ 0

A

,

A

u

A

a

=

/ 0

A

_

B

u

A

a

=

/ 0

A

,

A

2

@a

_

B

2

@a:

That

@a

doesn't contain

0

A

is obvious.

4.2 Filtrators

55