background image

Theorem 4.31.

Cor

0

a

v

a

whenever Cor

0

a

exists for any element

a

of a ltrator with join-closed

core.

Proof.

Cor

0

a

=

F

Z

down

a

=

F

A

down

a

v

a

.

Corollary 4.32.

Cor

0

a

2

down

a

whenever Cor

0

a

exists for any element

a

of a ltrator with join-

closed core.

Proposition 4.33.

Cor

0

a

v

Cor

a

whenever both Cor

a

and Cor

0

a

exist for any element

a

of a

ltrator with join-closed core.

Proof.

Cor

a

=

d

Z

up

a

w

Cor

0

a

because

8

A

2

up

a

:

Cor

0

a

v

A

.

Theorem 4.34.

Cor

0

a

=

Cor

a

whenever both Cor

a

and Cor

0

a

exist for any element of a ltered

ltrator.

Proof.

It is with join-closed core because it is semiltered. So Cor

0

a

v

Cor

a

. Cor

a

2

down

a

. So

Cor

a

v

F

Z

down

a

=

Cor

0

a

.

Obvious 4.35.

Cor

0

a

=

max down

a

for an element

a

of a ltrator with join-closed core.

4.2.2 Filtrators with Separable Core

Denition 4.36.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator. It is a

ltrator with separable core

when

8

x; y

2

A

: (

x

A

y

) 9

X

2

up

x

:

X

A

y

)

:

Proposition 4.37.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator. It is a

ltrator with separable core

i

8

x; y

2

A

: (

x

A

y

) 9

X

2

up

x; Y

2

up

y

:

X

A

Y

)

:

Proof.

)

.

Apply the denition twice.

(

.

Obvious.

Denition 4.38.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator. It is a

ltrator with co-separable core

when

8

x; y

2

A

: (

x

A

y

) 9

X

2

down

x

:

X

A

y

)

:

Obvious 4.39.

Co-separability is the dual of separability.

Proposition 4.40.

Let

(

A

;

Z

)

be a ltrator. It is a

ltrator with co-separable core

i

8

x; y

2

A

: (

x

A

y

) 9

X

2

down

x; Y

2

down

y

:

X

A

Y

)

:

Proof.

By duality.

4.2.3 Intersection and Joining with an Element of the Core

Denition 4.41.

I call

down-aligned

ltrator such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

A

and

Z

have common

least element. (Let's denote it

0

.)

Denition 4.42.

I call

up-aligned

ltrator such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

A

and

Z

have common

greatest element. (Let's denote it

1

.)

Theorem 4.43.

For a ltrator

(

A

;

Z

)

where

Z

is a boolean lattice, for every

B

2

Z

,

A 2

A

:

1.

B

A

A ,

B

w A

if it is down-aligned, with nitely meet-closed and separable core;

54

Filters and filtrators