background image

Denition 4.14.

down

a

=

f

c

2

Z

j

c

v

a

g

for an element

a

of a ltrator.

Obvious 4.15.

up and down are dual.

Our main purpose here is knowing properties of the core of a ltrator to infer properties of the

base of the ltrator, specically properties of up

a

for every element

a

.

Denition 4.16.

I call a ltrator

with join-closed core

such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

F

Z

S

=

F

A

S

whenever

F

Z

S

exists for

S

2

P

Z

.

Denition 4.17.

I call a ltrator

with meet-closed core

such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

d

Z

S

=

d

A

S

whenever

d

Z

S

exists for

S

2

P

Z

.

Denition 4.18.

I call a ltrator

with nitely join-closed core

such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

a

t

Z

b

=

a

t

A

b

whenever

a

t

Z

b

exists for

a; b

2

Z

.

Denition 4.19.

I call a ltrator

with nitely meet-closed core

such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

a

u

Z

b

=

a

u

A

b

whenever

a

u

Z

b

exists for

a; b

2

Z

.

Denition 4.20.

Filtered ltrator

is a ltrator

(

A

;

Z

)

such that

8

a

2

A

:

a

=

d

A

up

a

.

Denition 4.21.

Preltered ltrator

is a ltrator

(

A

;

Z

)

such that up is injective.

Denition 4.22.

Semiltered ltrator

is a ltrator

(

A

;

Z

)

such that

8

a; b

2

A

: (

up

a

up

b

)

a

v

b

)

:

Obvious 4.23.

Every ltered ltrator is semiltered.

Every semiltered ltrator is preltered.

Obvious 4.24.

up is a straight map from

A

to the dual of the poset

P

Z

if

(

A

;

Z

)

is a semiltered

ltrator.

Theorem 4.25.

Each semiltered ltrator is a ltrator with join-closed core.

Proof.

Let

(

A

;

Z

)

be a semiltered ltrator. Let

S

2

P

Z

and

F

Z

S

be dened. We need to prove

F

A

S

=

F

Z

S

. That

F

Z

S

is an upper bound for

S

is obvious. Let

a

2

A

be an upper bound for

S

. It's enough to prove that

F

Z

S

v

a

. Really,

c

2

up

a

)

c

w

a

) 8

x

2

S

:

c

w

x

)

c

w

G

Z

S

)

c

2

up

G

Z

S

;

so up

a

up

F

Z

S

and thus

a

w

F

Z

S

because it is semiltered.

4.2.1 Core Part

Denition 4.26.

The

core part

of an element

a

2

A

is Cor

a

=

d

Z

up

a

.

Denition 4.27.

The

dual core part

of an element

a

2

A

is Cor

0

a

=

F

Z

down

a

.

Obvious 4.28.

Cor

0

is dual of Cor.

Theorem 4.29.

Cor

a

v

a

whenever Cor

a

exists for any element

a

of a ltered ltrator.

Proof.

Cor

a

=

d

Z

up

a

v

d

A

up

a

=

a

.

Corollary 4.30.

Cor

a

2

down

a

whenever Cor

a

exists for any element

a

of a ltered ltrator.

4.2 Filtrators

53