 Exercise 4.2.

Describe the neighborhood of positive innity lter on

R

.

Denition 4.2.

A lter not containing empty set is called a

proper lter

.

Obvious 4.3.

The non-proper lter is

P

f

.

Remark 4.4.

Some other authors require that all lters are proper. This is a stupid idea and we

allow non-proper lters, in the same way as we allow to use the number

0

.

4.1.2 Intro to lters on a meet-semilattice

A trivial generalization of the above:

Denition 4.5.

A lter on a meet-semilattice

Z

is a

F 2

P

Z

such that:

1.

8

A; B

2 F

:

A

u

B

2 F

;

2.

8

A; B

2

Z

: (

A

2 F ^

B

w

A

)

B

2 F

)

.

4.1.3 Intro to lters on a poset

Denition 4.6.

A lter on a poset

Z

is a

F 2

P

Z

such that:

1.

8

A; B

2 F9

C

2 F

:

C

v

A; B

;

2.

8

A; B

2

Z

: (

A

2 F ^

B

w

A

)

B

2 F

)

.

It is easy to show (and there is a proof of it somewhere below) that this coincides with the

above denition in the case if

Z

is a meet-semilattice.

4.1.4 Intro to ltrators

Denition 4.7.

Filter

"

x

=

f

c

2

Z

j

c

w

x

g

is called the

principal lter induced by

the element

x

.

A lter is

principal

i it is a principal lter induced by some element.

I denote

P

the set of all principal lters (for a given poset

Z

).

Now let (only in this paragraph)

F

is an arbitrary poset and

P

is its subset. I call pairs

(

F

;

P

)

of a poset with its subset

ltrators

. And when

F

is the set of lters and

P

is the set of principal

lters on some poset I call them

primary ltrators

.

Filtrators are a more general case than the special case of ltrators on powersets.

4.2 Filtrators

Denition 4.8.

I will call a

ltrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a poset

A

and its subset

Z

A

. I call

A

the

base

of the ltrator and

Z

the

core

of the ltrator. I will also say that

(

A

;

Z

)

is a ltrator

over

poset

Z

.

Denition 4.9.

I will call a

lattice ltrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a lattice

A

and its subset

Z

A

.

Denition 4.10.

I will call a

complete lattice ltrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a complete lattice

A

and

its subset

Z

A

.

Denition 4.11.

I will call a

central ltrator

a ltrator

(

A

;

Z

(

A

))

where

Z

(

A

)

is the center of a

bounded lattice

A

.

Denition 4.12.

I will call

element

of a ltrator an element of its base.

Denition 4.13.

up

a

=

f

c

2

Z

j

c

w

a

g

for an element

a

of a ltrator.

52

Filters and filtrators