background image

Chapter 4
Filters and ltrators

This chapter is based on my article [

29

].

This chapter is grouped in the following way:

First it goes a short introduction in pedagogical order (rst less general stu and examples,
last the most general stu):

lters on a set;

lters on a meet-semilattice;

lters on a poset;

ltrators.

Then it goes the formal part in the order from the most general to the least general:

ltrators;

lters on a poset;

lters on a set.

Most theorems about ltrators (and also some theorems about lters on posets) have the form

A

)

B

where

A

is the specic theorem condition and

B

is the main theorem statement. To most

such theorems correspond simple

B

when we restrict to consideration only to the ltrator of lters

on a xed set. In some sense only

B

here is important,

A

here is a technical condition. So reading

theorems about ltrators concentrate on the theorem statement rather than on theorem conditions.

4.1 Introduction to lters and ltrators

4.1.1 Filters on a set

We sometimes want to dene something resembling an innitely small (or innitely big) set, for
example the innitely small interval near

0

on the real line. Of course there is no such set, just

like as there is no natural number which is the dierence

2

¡

3

. To overcome this shortcoming

we introduce whole numbers, and

2

¡

3

becomes well dened. In the same way to consider things

which are like innitely small (or innitely big) sets we introduce

lters

.

An example of a lter is the innitely small interval near

0

on the real line. To come to innitely

small, we consider all intervals

(

¡

"

;

"

)

for all

" >

0

. This lter consists of all intervals

(

¡

"

;

"

)

for

all

" >

0

and also all subsets of

R

containing such intervals as subsets. Informally speaking, this

is the greatest lter contained in every interval

(

¡

"

;

"

)

for all

" >

0

.

Denition 4.1.

A lter on a set

f

is a

F 2

PP

f

such that:

1.

8

A; B

2 F

:

A

\

B

2 F

;

2.

8

A; B

2

P

f

: (

A

2 F ^

B

A

)

B

2 F

)

.

Exercise 4.1.

Verify that the above introduced innitely small interval near

0

on the real line is a lter on

R

.

51