background image

Table of contents

Abstract

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.1 Draft status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.2 Intended audience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.3 Reading Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.4 Our topic and rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.5 Earlier works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.6 Kinds of continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.7 Structure of this book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.8 Basic notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.8.1 Grothendieck universes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.8.2 Misc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

1.9 Unusual notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2 Common knowledge, part 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1 Order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.1 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.1.1 Intersecting and joining elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.2 Linear order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.3 Meets and joins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.4 Semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.5 Lattices and complete lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.6 Distributivity of lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.7 Dierence and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.8 Boolean lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.9 Center of a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.10 Atoms of posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.11 Kuratowski's lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.12 Homomorphisms of posets and lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.13 Galois connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.14 Co-Brouwerian lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.1.15 Dual pseudocomplement on co-Heyting lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.2 Intro to category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

2.3 Intro to group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3 More on order theory

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.1 Straight maps and separation subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.1.1 Straight maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.1.2 Separation subsets and full stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.1.3 Atomically Separable Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.2 Free Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.2.1 Starrish posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.3 Quasidierence and Quasicomplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.4 Several equal ways to express pseudodierence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.5 Partially ordered categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

3.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

5