 3.8 Innite associativity and ordinated product

3.8.1 Introduction

We will consider some function

f

which takes an arbitrary ordinal number of arguments. That is

f

can be taken for arbitrary (small, if to be precise) ordinal number of arguments. More formally:

Let

x

=

x

i

2

n

be a family indexed by an ordinal

n

. Then

f

(

x

)

can be taken. The same function

f

can take dierent number of arguments. (See below for the exact denition.)

Some of such functions

f

are associative in the sense dened below. If a function is associative

in the below dened sense, then the binary operation induced by this function is associative in the
usual meaning of the word associativity as dened in basic algebra.

I also introduce and research an important example of innitely associative function, which I

call

ordinated product

.

Note that my searching about innite associativity and ordinals in Internet has provided no

useful results. As such there is a reason to assume that my research of generalized associativity in
terms of ordinals is novel.

3.8.2 Used notation

We identify natural numbers with nite Von Neumann's ordinals (further just

ordinals

or

ordinal

numbers

).

For simplicity we will deal with small sets (members of a Grothendieck universe). We will denote

the Grothendieck universe (aka

universal set

) as

f

.

I will denote a tuple of

n

elements like

J

a

0

;

:::

;

a

n

¡

1

K

. By denition

J

a

0

;

:::

;

a

n

¡

1

K

=

f

(0;

a

0

)

; :::;

(

n

¡

1;

a

n

¡

1

)

g

:

Note that an ordered pair

(

a

;

b

)

is not the same as the tuple

J

a

;

b

K

of two elements.

Denition 3.71.

An

anchored relation

is a tuple

J

n

;

r

K

where

n

is an index set and

r

is an

n

-ary

relation.

For an anchored relation arity

J

n

;

r

K

=

n

. The

graph

3.1

of

J

n

;

r

K

is dened as follows: GR

J

n

;

r

K

=

r

.

Denition 3.72.

Pr

i

is a function dened by the formula

Pr

i

f

=

f

x

i

j

x

2

f

g

for every small

n

-ary relation

f

where

n

is an ordinal number and

i

2

n

. Particularly for every

n

-

ary relation

f

and

i

2

n

where

n

2

N

Pr

i

f

=

f

x

i

j

J

x

0

; :::; x

n

¡

1

K

2

f

g

:

Recall that Cartesian product is dened as follows:

Y

a

=

z

2

¡[

im

a

dom

a

j 8

i

2

dom

a

:

z

(

i

)

2

a

i

:

Obvious 3.73.

If

a

is a small function, then

Q

a

=

f

z

2

f

dom

a

j 8

i

2

dom

a

:

z

(

i

)

2

a

i

g

.

3.8.2.1 Currying and uncurrying
The customary denition

Let

X

,

Y

,

Z

be sets.

We will consider variables

x

2

X

and

y

2

Y

.

Let a function

f

2

Z

X

Y

. Then curry

(

f

)

2

(

Z

Y

)

X

is the function dened by the formula

(

curry

(

f

)

x

)

y

=

f

(

x

;

y

)

.

Let now

f

2

(

Z

Y

)

X

. Then uncurry

(

f

)

2

Z

X

Y

is the function dened by the formula

uncurry

(

f

)(

x

;

y

) = (

fx

)

y

.

3.1

It is unrelated with graph theory.

3.8 Infinite associativity and ordinated product

43