 Denition 3.50.

Transitive

(endo)morphism of a precategory is such a morphism

f

that

f

=

f

f

.

Theorem 3.51.

The following conditions are equivalent for a morphism

f

of a dagger precategory:

1.

f

is symmetric and transitive.

2.

f

=

f

y

f

.

Proof.

(1)

)

(2).

If

f

is symmetric and transitive then

f

y

f

=

f

f

=

f

.

(2)

)

(1).

f

y

= (

f

y

f

)

y

=

f

y

f

yy

=

f

y

f

=

f

, so

f

is symmetric.

f

=

f

y

f

=

f

f

, so

f

is

transitive.

3.5.2.1 Some special classes of morphisms

Denition 3.52.

For a partially ordered dagger category I will call

monovalued

morphism such

a morphism

f

that

f

f

y

v

1

Dst

f

.

Denition 3.53.

For a partially ordered dagger category I will call

entirely dened

morphism

such a morphism

f

that

f

y

f

w

1

Src

f

.

Denition 3.54.

For a partially ordered dagger category I will call

injective

morphism such a

morphism

f

that

f

y

f

v

1

Src

f

.

Denition 3.55.

For a partially ordered dagger category I will call

surjective

morphism such a

morphism

f

that

f

f

y

w

1

Dst

f

.

Remark 3.56.

It is easy to show that this is a generalization of monovalued, entirely dened,

injective, and surjective functions as morphisms of the category Rel.

Obvious 3.57.

Injective morphism is a dual of monovalued morphism and surjective mor-

phism is a dual of entirely dened morphism.

Denition 3.58.

For a given partially ordered dagger category

C

the

category of monovalued

(

entirely dened

,

injective

,

surjective

) morphisms of

C

is the category with the same set of objects

as of

C

and the set of morphisms being the set of monovalued (entirely dened, injective, surjective)

morphisms of

C

with the composition of morphisms the same as in

C

.

We need to prove that these are really categories, that is that composition of monovalued

(entirely dened, injective, surjective) morphisms is monovalued (entirely dened, injective, sur-
jective) and that identity morphisms are monovalued, entirely dened, injective, and surjective.

Proof.

We will prove only for monovalued morphisms and entirely dened morphisms, as injective

and surjective morphisms are their duals.

Monovalued.

Let

f

and

g

be monovalued morphisms, Dst

f

=

Src

g

.

(

g

f

)

(

g

f

)

y

=

g

f

f

y

g

y

v

g

1

Dst

f

g

y

=

g

1

Src

g

g

y

=

g

g

y

v

1

Dst

g

= 1

Dst

(

g

f

)

. So

g

f

is monovalued.

That identity morphisms are monovalued follows from the following:

1

A

(1

A

)

y

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Dst

1

A

v

1

Dst

1

A

.

Entirely dened.

Let

f

and

g

be entirely dened morphisms, Dst

f

=

Src

g

.

(

g

f

)

y

(

g

f

) =

f

y

g

y

g

f

w

f

y

1

Src

g

f

=

f

y

1

Dst

f

f

=

f

y

f

w

1

Src

f

= 1

Src

(

g

f

)

. So

g

f

is entirely

dened.

That identity morphisms are entirely dened follows from the following:

(1

A

)

y

1

A

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Src

1

A

w

1

Src

1

A

.

Denition 3.59.

I will call a

bijective

morphism a morphism which is entirely dened, mono-

valued, injective, and surjective.

Proposition 3.60.

If a morphism is bijective then it is an isomorphism.

3.5 Partially ordered categories

41