 that is

G

f

z

2

A

j

z

v

a

^

z

u

b

= 0

A

g

=

G

f

z

2

atoms

a

j

z

u

b

= 0

A

g

=

G

(

atoms

a

n

atoms

b

)

:

3.5 Partially ordered categories

3.5.1 Denition

Denition 3.44.

I will call a partially ordered (pre)category a (pre)category together with partial

order

v

on each of its Mor-sets with the additional requirement that

f

1

v

f

2

^

g

1

v

g

2

)

g

1

f

1

v

g

2

f

2

for every morphisms

f

1

,

g

1

,

f

2

,

g

2

such that Src

f

1

=

Src

f

2

^

Dst

f

1

=

Dst

f

2

=

Src

g

1

=

Src

g

2

^

Dst

g

1

=

Dst

g

2

.

3.5.2 Dagger categories

Denition 3.45.

I will call a

dagger precategory

a precategory together with an involutive con-

travariant identity-on-objects prefunctor

x

7!

x

y

.

In other words, a dagger precategory is a precategory equipped with a function

x

7!

x

y

on its

set of morphisms which reverses the source and the destination and is subject to the following
identities for every morphisms

f

and

g

:

1.

f

yy

=

f

;

2.

(

g

f

)

y

=

f

y

g

y

.

Denition 3.46.

I will call a

dagger category

a category together with an involutive contravariant

identity-on-objects functor

x

7!

x

y

.

In other words, a dagger category is a category equipped with a function

x

7!

x

y

on its set of

morphisms which reverses the source and the destination and is subject to the following identities
for every morphisms

f

and

g

and object

A

:

1.

f

yy

=

f

;

2.

(

g

f

)

y

=

f

y

g

y

;

3.

(1

A

)

y

= 1

A

.

Theorem 3.47.

If a category is a dagger precategory then it is a dagger category.

Proof.

We need to prove only that

(1

A

)

y

= 1

A

. Really,

(1

A

)

y

= (1

A

)

y

1

A

= (1

A

)

y

(1

A

)

yy

= ((1

A

)

y

1

A

)

y

= (1

A

)

yy

= 1

A

:

For a partially ordered dagger (pre)category I will additionally require (for every morphisms

f

and

g

with the same source and destination)

f

y

v

g

y

,

f

v

g:

An example of dagger category is the category Rel whose objects are sets and whose morphisms are
binary relations between these sets with usual composition of binary relations and with

f

y

=

f

¡

1

.

Denition 3.48.

A morphism

f

of a dagger category is called

unitary

when it is an isomorphism

and

f

y

=

f

¡

1

.

Denition 3.49.

Symmetric

(endo)morphism of a dagger precategory is such a morphism

f

that

f

=

f

y

.

40

More on order theory