 Proposition 3.27.

Let

A

be a join-semilattice.

S

2

P

A

is a free star i the least element (if it

exists) is not in

S

and for every

X ; Y

2

A

X

t

Y

2

S

,

X

2

S

_

Y

2

S:

Proof.

)

.

We need to prove only

X

t

Y

2

S

(

X

2

S

_

Y

2

S

what follows from that

S

is an upper set.

(

.

We need to prove only that

S

is an upper set. Let

X

2

S

and

X

v

Y

2

A

. Then

X

2

S

)

X

2

S

_

Y

2

S

,

X

t

Y

2

S

)

Y

2

S

. So

S

is an upper set.

3.2.1 Starrish posets

Denition 3.28.

I will call a poset

starrish

when the full star

?a

is a free star for every element

a

of this poset.

Proposition 3.29.

Every distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a distributive lattice,

a

2

A

. Obviously

0

2

/

?a

(if

0

exists); obviously

?a

is an

upper set. If

x

t

y

2

?a

, then

(

x

t

y

)

u

a

is non-least that is

(

x

u

a

)

t

(

y

u

a

)

is non-least what is

equivalent to

x

u

a

or

y

u

a

being non-least that is

x

2

?a

_

y

2

?a

.

Theorem 3.30.

If

A

is a starrish join-semilattice lattice then

atoms

(

a

t

b

) =

atoms

a

[

atoms

b

for every

a; b

2

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

2

atoms

(

a

t

b

)

,

c

/

a

t

b

,

a

t

b

2

?c

,

a

2

?c

_

b

2

?c

,

c

/

a

_

c

/

b

,

c

2

atoms

a

_

c

2

atoms

b

.

3.3 Quasidierence and Quasicomplement

I've got quasidierence and quasicomplement (and dual quasicomplement) replacing max and min
in the denition of pseudodierence and pseudocomplement (and dual pseudocomplement) with

F

and

d

. Thus quasidierence and (dual) quasicomplement are generalizations of their pseudo-

counterparts.

Remark 3.31.

Pseudocomplements

and

pseudodierences

are standard terminology.

Quasi

- coun-

terparts are my neologisms.

Denition 3.32.

Let

A

be a poset,

a

2

A

.

Quasicomplement

of

a

is

a

=

G

f

c

2

A

j

c

a

g

:

Denition 3.33.

Let

A

be a poset,

a

2

A

.

Dual quasicomplement

of

a

is

a

+

=

l

f

c

2

A

j

c

a

g

:

I will denote quasicomplement and dual quasicomplement for a specic poset

A

as

a

(

A

)

and

a

+(

A

)

.

Denition 3.34.

Let

a; b

2

A

where

A

is a distributive lattice.

Quasidierence

of

a

and

b

is

a

n

b

=

l

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g

:

Denition 3.35.

Let

a; b

2

A

where

A

is a distributive lattice.

Second quasidierence

of

a

and

b

is

a

#

b

=

G

f

z

2

A

j

z

v

a

^

z

b

g

:

3.3 Quasidifference and Quasicomplement

37