background image

2.

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

a

v

b

)

.

3.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

fa

@

fb

)

.

4.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

fa

=

/

fb

)

.

5.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

fa

w

fb

)

.

6.

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

a

A

b

)

.

Proof.

(1)

)

(3).

Let

a; b

2

A

. Let

fa

=

fb

)

a

=

b

. Let

a

@

b

.

fa

=

/

fb

because

a

=

/

b

.

fa

v

fb

because

a

v

b

. So

fa

@

fb

.

(2)

)

(1).

Let

a; b

2

A

. Let

fa

v

fb

)

a

v

b

. Let

fa

=

fb

. Then

a

v

b

and

b

v

a

and consequently

a

=

b

.

(3)

)

(2).

Let

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

fa

@

fb

)

. Let

a

v

b

. Then

a

A

a

u

b

. So

fa

A

f

(

a

u

b

)

. If

fa

v

fb

then

fa

v

f

(

a

u

b

)

what is a contradiction.

(3)

)

(5)

)

(4).

Obvious.

(4)

)

(3).

Because

a

@

b

)

a

v

b

)

fa

v

fb

.

(5)

,

(6).

Obvious.

3.1.2 Separation subsets and full stars

Denition 3.7.

@

Y

a

=

f

x

2

Y

j

x

/

a

g

for an element

a

of a poset

A

and

Y

2

P

A

.

Denition 3.8.

Full star

of

a

2

A

is

?a

=

@

A

a

.

Proposition 3.9.

If

A

is a meet-semilattice, then

?

is a straight monotone map.

Proof.

Monotonicity is obvious. Let

?a

v

?

(

a

u

b

)

. Then it exists

x

2

?a

such that

x

2

/

?

(

a

u

b

)

. So

x

u

a

2

/

?b

but

x

u

a

2

?a

and consequently

?a

v

? b

.

Denition 3.10.

A

separation subset

of a poset

A

is such its subset

Y

that

8

a; b

2

A

: (

@

Y

a

=

@

Y

b

)

a

=

b

)

:

Denition 3.11.

I call

separable

such poset that

?

is an injection.

Obvious 3.12.

A poset is separable i it has a separation subset.

Denition 3.13.

A poset

A

has

disjunction property of Wallman

i for any

a; b

2

A

either

b

v

a

or there exists a non-least element

c

v

b

such that

a

c

.

Theorem 3.14.

For a meet-semilattice with least element the following statements are equivalent:

1.

A

is separable.

2.

8

a; b

2

A

: (

?a

v

?b

)

a

v

b

)

.

3.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

?a

@

?b

)

.

4.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

?a

=

/

?b

)

.

5.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

)

?a

w

? b

)

.

6.

8

a; b

2

A

: (

?a

v

?b

)

a

A

b

)

.

7.

A

conforms to Wallman's disjunction property.

8.

8

a; b

2

A

: (

a

@

b

) 9

c

2

A

n f

0

g

: (

c

a

^

c

v

b

))

.

34

More on order theory