background image

Chapter 3
More on order theory

3.1 Straight maps and separation subsets

3.1.1 Straight maps

Denition 3.1.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to some poset

B

. I call

f

a

straight

map when

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

fa

=

f

(

a

u

b

))

:

Proposition 3.2.

The following statements are equivalent for a monotone map

f

:

1.

f

is a straight map.

2.

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

fa

v

f

(

a

u

b

))

.

3.

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

fa

A

f

(

a

u

b

))

.

4.

8

a; b

2

A

: (

fa

A

f

(

a

u

b

)

)

fa

v

fb

)

.

Proof.

(1)

,

(2)

,

(3).

Due

fa

w

f

(

a

u

b

)

.

(3)

,

(4).

Obvious.

Remark 3.3.

The denition of straight map can be generalized for any poset

A

by the formula

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

) 9

c

2

A

: (

c

v

a

^

c

v

b

^

fa

=

fc

))

:

This generalization is not yet researched however.

Proposition 3.4.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to a meet-semilattice

B

. If

8

a; b

2

A

:

f

(

a

u

b

) =

fa

u

fb

then

f

is a straight map.

Proof.

Let

fa

v

fb

. Then

f

(

a

u

b

) =

fa

u

fb

=

fa

.

Proposition 3.5.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to some poset

B

. If

8

a; b

2

A

: (

fa

v

fb

)

a

v

b

)

then

f

is a straight map.

Proof.

fa

v

fb

)

a

v

b

)

a

=

a

u

b

)

fa

=

f

(

a

u

b

)

.

Theorem 3.6.

If

f

is a straight monotone map from a meet-semilattice

A

then the following

statements are equivalent:

1.

f

is an injection.

33