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So min

A

exists.

Denition 2.114.

Co-Heyting lattice

is co-brouwerian lattice with greatest element.

Theorem 2.115.

For a co-brouwerian lattice

a

t ¡

is an upper adjoint of

¡n

a

for every

a

2

A

.

Proof.

g

(

b

) =

min

f

x

2

A

j

a

t

x

w

b

g

=

b

n

a

exists for every

b

2

A

and thus is the lower adjoint of

a

t ¡

.

Corollary 2.116.

8

a; x; y

2

A

: (

x

n

a

v

y

,

x

v

a

t

y

)

for a co-brouwerian lattice.

Denition 2.117.

Let

a; b

2

A

where

A

is a complete lattice.

Quasidierence

a

n

b

is dened by

the formula:

a

n

b

=

l

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g

:

Remark 2.118.

A more detailed theory of quasidierence (as well as quasicomplement and dual

quasicomplement) will be considered below.

Lemma 2.119.

(

a

n

b

)

t

b

=

a

t

b

for elements

a

,

b

of a meet innite distributive complete lattice.

Proof.

(

a

n

b

)

t

b

=

l

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g t

b

=

l

f

z

t

b

j

z

2

A

; a

v

b

t

z

g

=

l

f

t

2

A

j

t

w

b; a

v

t

g

=

a

t

b:

Theorem 2.120.

The following are equivalent for a complete lattice

A

:

1.

A

is meet innite distributive.

2.

A

is a co-brouwerian lattice.

3.

A

is a co-Heyting lattice.

4.

a

t ¡

has lower adjoint for every

a

2

A

.

Proof.

(2)

,

(3).

Obvious (taking into account completeness of

A

).

(4)

)

(1).

Let

¡n

a

be the lower adjoint of

a

t ¡

. Let

S

2

P

A

. For every

y

2

S

we have

y

w

(

a

t

y

)

n

a

by properties of Galois connections; consequently

y

w

(

d

h

a

t i

S

)

n

a

;

d

S

w

(

d

h

a

t i

S

)

n

a

. So

a

t

l

S

w

¡¡

l

h

a

t i

S

n

a

t

a

w

l

h

a

t i

S:

But

a

t

d

S

v

d

h

a

t i

S

is obvious.

(1)

)

(2).

Let

a

n

b

=

d

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g

. To prove that

A

is a co-brouwerian lattice it is

enough to prove

a

v

b

t

(

a

n

b

)

. But it follows from the lemma.

(2)

)

(4).

a

n

b

=

min

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g

. So

a

t ¡

is the upper adjoint of

¡n

a

.

(1)

)

(4).

Because

a

t ¡

preserves all meets.

Corollary 2.121.

Co-brouwerian lattices are distributive.

The following theorem is essentially borrowed from [

18

]:

28

Common knowledge, part 1