background image

2. Let

A

be a complete lattice and

f

preserves all inma. Let

g

(

a

) =

l

f

x

2

A

j

fx

w

a

g

:

Since

f

preserves inma, we have

f

(

g

(

a

)) =

l

f

f

(

x

)

j

x

2

A

; fx

w

a

g w

a:

g

(

f

(

b

)) =

d

f

x

2

A

j

fx

w

fb

g v

b

.

Obviously

f

is monotone and thus

g

is also monotone.

So

f

is the upper adjoint of

g

.

Corollary 2.105.

Let

f

be a function from a complete lattice

A

to a poset

B

. Then:

1.

f

is an upper adjoint of a function

B

!

A

i

f

preserves all inma in

A

.

2.

f

is an lower adjoint of a function

B

!

A

i

f

preserves all suprema in

A

.

2.1.14 Co-Brouwerian lattices

Denition 2.106.

Let

A

be a poset.

Pseudocomplement

of

a

2

A

is

max

f

c

2

A

j

c

a

g

:

If

z

is the pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

.

Denition 2.107.

Let

A

be a poset.

Dual pseudocomplement

of

a

2

A

is

min

f

c

2

A

j

c

a

g

:

If

z

is the dual pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

+

.

Proposition 2.108.

If

a

is a complemented element of a bounded distributive lattice, then

a

is

both pseudocomplement and dual pseudocomplement of

a

.

Proof.

Because of duality it is enough to prove that

a

is pseudocomplement of

a

.

We need to prove

c

a

)

c

v

a

for every element

c

of our poset, and

a

a

. The second is obvious.

Let's prove

c

a

)

c

v

a

.

Really, let

c

a

. Then

c

u

a

= 0

;

a

t

(

c

u

a

) =

a

;

(

a

t

c

)

u

(

a

t

a

) =

a

;

a

t

c

=

a

;

c

v

a

.

Denition 2.109.

Let

A

be a join-semilattice. Let

a; b

2

A

.

Pseudodierence

of

a

and

b

is

min

f

z

2

A

j

a

v

b

t

z

g

:

If

z

is a pseudodierence of

a

and

b

we will denote

z

=

a

n

b

.

Remark 2.110.

I do not require that

a

is undened if there are no pseudocomplement of

a

and

likewise for dual pseudocomplement and pseudodierence. In fact below I will dene quasicomple-
ment, dual quasicomplement, and quasidierence which generalize pseudo-* counterparts. I will
denote

a

the more general case of quasicomplement than of pseudocomplement, and likewise for

other notation.

Obvious 2.111.

Dual pseudocomplement is the dual of pseudocomplement.

Denition 2.112.

Co-brouwerian lattice

is a lattice for which pseudodierence of any two its

elements is dened.

Proposition 2.113.

Every non-empty co-brouwerian lattice

A

has least element.

Proof.

Let

a

be an arbitrary lattice element. Then

a

n

a

=

min

f

z

2

A

j

a

v

a

t

z

g

=

min

A

:

2.1 Order theory

27