background image

Let

f

be the staroid whose graph consists of functions

p

:

U

!

a

such that either

p

(

n

)

A

for

all but nitely many

n

or

p

(

n

)

B

for all but nitely many

n

. Let's prove

f

is really a staroid.

It's obvious

px

=

/

;

for every

x

2

U

. Let

k

2

U

,

L

2

a

U

nf

k

g

. It is enough (taking symmetry into

account) to prove that

L

[ f

(

k

;

x

t

y

)

g 2

GR

f

,

L

[ f

(

k

;

x

)

g 2

GR

f

_

L

[ f

(

k

;

y

)

g 2

GR

f :

(18.1)

Really,

L

[ f

(

k

;

x

t

y

)

g 2

GR

f

i

x

t

y

2

a

and

L

(

n

)

A

for all but nitely many

n

or

L

(

n

)

B

for all but nitely many

n

;

L

[ f

(

k

;

x

)

g 2

GR

f

i

x

2

a

and

L

(

n

)

A

for all but nitely many

n

or

L

(

n

)

B

; and similarly for

y

.

But

x

t

y

2

a

,

x

2

a

_

y

2

a

because

a

is an ultralter. So, the formula (

18.1

holds, and we

have proved that

f

is really a staroid.

Take

X

be the constant function with value

A

and

Y

be the constant function with value

B

.

8

p

2

GR

f

:

p

/

X

because

p

i

\

X

i

2

a

; so GR

f

GR

Q

Strd

X

that is

f

v

Q

Strd

X

.

Finally,

Y

u

X

2

/

GR

f

because

X

u

Y

=

i

2

U

:

A

\

B

.

Some conjectures similar to the above example:

Conjecture 18.82.

There exists a completary staroid

f

and an indexed family

X

of principal

lters (with arity

f

=

dom

X

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

X

i

)

for every

i

2

arity

f

), such that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X

2

/

GR

f

for some

Y

2

GR

f

.

Conjecture 18.83.

There exists a staroid

f

and an indexed family

x

of ultralters (with arity

f

=

dom

x

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

x

i

)

for every

i

2

arity

f

), such that

f

v

Q

Strd

x

and

Y

u

x

2

/

GR

f

for

some

Y

2

GR

f

.

Other conjectures:

Conjecture 18.84.

If staroid

0 =

/

f

v

a

Strd

n

for an ultralter

a

and an index set

n

, then

n

 f

a

g 2

GR

f

. (Can it be generalized for arbitrary staroidal products?)

Conjecture 18.85.

The following posets are atomic:

1. anchored relations on powersets;
2. staroids on powersets;
3. completary staroids on powersets.

Conjecture 18.86.

The following posets are atomistic:

1. anchored relations on powersets;
2. staroids on powersets;
3. completary staroids on powersets.

The above conjectures seem dicult, because we know almost nothing about structure of atomic

staroids.

Conjecture 18.87.

A staroid on powersets is principal i it is complete in every argument.

Conjecture 18.88.

If

a

is an ultralter, then id

a

[

n

]

Strd

is an atom of the lattice of:

1. anchored relations of the form

(

P

Base

(

a

))

n

;

2. staroids of the form

(

P

Base

(

a

))

n

;

3. completary staroids of the form

(

P

Base

(

a

))

n

.

Conjecture 18.89.

If

a

is an ultralter, then

id

a

[

n

]

Strd

is an atom of the lattice of:

1. anchored relations of the form

F

(

Base

(

a

))

n

;

2. staroids of the form

F

(

Base

(

a

))

n

;

3. completary staroids of the form

F

(

Base

(

a

))

n

.

Informal problem: Formulate and prove associativity of staroidal product.

252

Identity staroids