background image

So

L

2

id

A

[

n

]

Strd

)

L

2

GR

f

. Thus

f

w

id

A

[

n

]

Strd

.

18.5 Finite case

Theorem 18.77.

Let

n

be a nite set.

1. id

A

[

n

]

Strd

=

ID

A

[

n

]

Strd

if

A

and

Z

are meet-semilattices and

(

A

;

Z

)

is a nitely meet-closed ltrator.

2. ID

A

[

n

]

Strd

=

id

A

[

n

]

Strd

if

(

A

;

Z

)

is a primary ltrator over a distributive lattice.

Proof.

1.

L

2

GR

ID

A

[

n

]

Strd

,

L

2

GR ID

A

[

n

]

Strd

,

MEET

(

f

L

i

j

i

2

n

g [ fAg

)

,

d

i

2

n

A

L

i

u A

=

/ 0

,

(by

niteness)

,

d

i

2

n

Z

L

i

u A

=

/ 0

,

L

2

id

A

[

n

]

Strd

for every

L

2

Q

Z

.

2.

L

2

GR

id

A

[

n

]

Strd

,

up

L

GR id

A

[

n

]

Strd

, 8

K

2

up

L

:

K

2

GR id

A

[

n

]

Strd

, 8

K

2

up

L

:

d

i

2

n

Z

K

i

2

@

A , 8

K

2

up

L

:

d

i

2

n

Z

K

i

/

A ,

(by niteness and theorem

4.44

)

,8

K

2

up

L

:

d

i

2

n

A

K

i

/

A , A 2

T

h

?

i

d

i

2

n

A

K

i

j

K

2

up

L

 

,

(by the formula for nite meet of lters,

theorem

4.111

)

,A 2

T

h

?

i

d

i

2

n

A

L

i

, 8

K

2

d

i

2

n

A

L

i

:

A 2

? K

, 8

K

2

d

i

2

n

A

L

i

:

/

K

,

(by

separability of core, theorem

4.112

)

,

d

i

2

n

A

L

i

/

A ,

L

2

ID

A

[

n

]

Strd

.

Proposition 18.78.

Let

(

A

;

Z

)

be a nitely meet closed ltrator.

ID

A

[

n

]

Strd

and id

A

[

n

]

Strd

are the same

for nite

n

.

Proof.

Because

d

i

2

dom

L

Z

L

i

=

d

i

2

dom

L

A

L

i

for nitary

L

.

[FIXME: Are meets dened?]

18.6 Counter-examples and conjectures

The following example shows that the theorem

18.33

can't be strenghtened:

Example 18.79.

For some multifuncoid

f

on powersets complete in argument

k

the following

formula is false:

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

F

X

)

g

) =

F

x

2

X

h

f

i

l

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

)

for every

X

2

P

P

k

,

L

2

Q

i

2

(

arity

f

)

nf

k;l

g

F

i

.

Proof.

Consider multifuncoid

f

id

"

U

[3]

Strd

where

U

is an innite set (of the form

P

3

) and

L

= (

Y

)

where

Y

is a nonprincipal lter on

U

.

h

f

i

0

(

L

[ f

(

k

;

F

X

)

g

) =

Y

u

F

X

;

F

x

2

X

h

f

i

0

(

L

[ f

(

k

;

x

)

g

) =

F

x

2

X

(

Y

u

x

)

.

It can be

Y

u

F

X

=

F

x

2

X

(

Y

u

x

)

only if

Y

is principal: Really:

Y

u

F

X

=

F

x

2

X

(

Y

u

x

)

implies

Y

/

F

X

)

F

x

2

X

(

Y

u

x

) =

/ 0

) 9

x

2

X

:

Y

/

x

and thus

Y

is principal. But we claimed

above that it is nonprincipal.

Example 18.80.

There exists a staroid

f

and an indexed family

X

of principal lters (with

arity

f

=

dom

X

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

X

i

)

for every

i

2

arity

f

), such that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X

2

/

GR

f

for some

Y

2

GR

f

.

Remark 18.81.

Such examples obviously do not exist if both

f

is a principal staroid and

X

and

Y

are indexed families of principal lters (because for powerset algebras staroidal product is

equivalent to Cartesian product). This makes the above example inspired.

Proof.

(Monroe Eskew) Let

a

be any (trivial or nontrivial) ultralter on an innite set

U

. Let

A; B

2

a

be such that

A

\

B

A; B

. In other words,

A

,

B

are arbitrary nonempty sets such that

;

=

/

A

\

B

A; B

and

a

be an ultralter on

A

\

B

.

18.6 Counter-examples and conjectures

251