background image

Denition 2.91.

Order embedding

is a monotone injective function whose inverse is also

monotone.

Denition 2.92.

Order isomorphism

is a surjective order embedding.

Order isomorphism preserves properties of posets, such as order, joins and meets, etc.

Denition 2.93.

1.

Join semilattice homomorphism

is a function

f

from a join semilattice

A

to a join semilattice

B

, such that

f

(

x

t

y

) =

fx

t

fy

for every

x; y

2

A

.

2.

Meet semilattice homomorphism

is a function

f

from a meet semilattice

A

to a meet semi-

lattice

B

, such that

f

(

x

u

y

) =

fx

u

fy

for every

x; y

2

A

.

Obvious 2.94.

1. Join semilattice homomorphisms are monotone.
2. Meet semilattice homomorphisms are monotone.

Denition 2.95.

A

lattice homomorphism

is a function from a lattice to a lattice, which is both

join semilattice homomorphism and meet semilattice homomorphism.

Denition 2.96.

Complete lattice homomorphism

from a complete lattice

A

to a complete lattice

B

is a function

f

from

A

to

B

which preserves all meets and joins, that is

f

F

S

=

F

h

f

i

S

and

f

d

S

=

d

h

f

i

S

for every

S

2

P

A

.

2.1.13 Galois connections

See [

3

and [

12

for more detailed treatment of Galois connections.

Denition 2.97.

Let

A

and

B

be two posets. A

Galois connection

between

A

and

B

is a pair of

functions

f

= (

f

;

f

)

with

f

:

A

!

B

and

f

:

B

!

A

such that:

8

x

2

A

; y

2

B

: (

f

x

v

y

,

x

v

f

y

)

:

f

is called

the upper adjoint

of

f

and

f

is called

the lower adjoint

of

f

.

Theorem 2.98.

A pair

(

f

;

f

)

of functions

f

:

A

!

B

and

f

:

B

!

A

is a Galois connection i

both of the following:

1.

f

and

f

are monotone.

2.

x

v

f

f

x

and

f

f

y

v

y

for every

x

2

A

and

y

2

B

.

Proof.

)

.

2.

x

v

f

f

x

since

f

x

v

f

x

;

f

f

y

v

y

since

f

y

v

f

y

.

1. Let

a; b

2

A

and

a

v

b

. Then

a

v

b

v

f

f

b

. So by denition

f

a

v

f

b

that is

f

is

monotone. Analogously

f

in monotone.

(

.

f

x

v

y

)

f

f

x

v

f

y

)

x

v

f

y

. The other direction is analogous.

Theorem 2.99.

1.

f

f

f

=

f

.

2.

f

f

f

=

f

.

Proof.

1. Let

x

2

A

. We have

x

v

f

f

x

; consequently

f

x

v

f

f

f

x

. On the other hand,

f

f

f

x

v

f

x

. So

f

f

f

x

=

f

x

.

2.1 Order theory

25