background image

Proof.

8

A

2

a

:

Q

X

/

id

A

[

n

]

, 8

A

2

a

:

T

i

2

n

X

i

\

A

=

/

; , 8

A

2

a

:

d

i

2

n

P

"

Z

X

i

/

"

A

,

d

i

2

n

P

(

"

Z

n

X

i

)

/

a

,

d

i

2

n

P

(

"

Z

n

X

)

i

/

a

, "

Z

n

X

2

GR id

a

[

n

]

.

Proposition 18.51.

Y

2

GR id

A

[

n

]

Strd

, 8

A

2 A

:

Y

2

GR

"

Strd

id

A

[

n

]

for every lter

A

on a powerset

and

Y

2

P

n

.

Proof.

Take

Y

=

"

Z

n

X

.

8

A

2 A

:

Y

2

GR

"

Strd

id

A

[

n

]

, 8

A

2 A

:

"

Z

n

X

2

GR

"

Strd

id

A

[

n

]

, 8

A

2 A

:

Q

X

/

id

A

[

n

]

,

"

Z

n

X

2

GR id

A

[

n

]

Strd

,

Y

2

GR id

A

[

n

]

Strd

.

Proposition 18.52.

"

Z

n

X

2

GR id

a

[

n

]

Strd

, 8

A

2

a

9

t

2

A

8

i

2

n

:

t

2

X

i

.

Proof.

"

Z

n

X

2

GR id

a

[

n

]

Strd

, 9

A

2

a

9

t

2

A

:

n

 f

t

g 2

Q

X

, 8

A

2

a

9

t

2

A

8

i

2

n

:

t

2

X

i

.

18.4.5 Relationships between big and small identity staroids

Denition 18.53.

a

Strd

n

=

Q

i

2

n

Strd

a

for every element

a

of a poset and an index set

n

.

Proposition 18.54.

id

a

[

n

]

Strd

v

ID

a

[

n

]

Strd

v

a

Strd

n

for every lter

a

(on any distributive lattice) and an

index set

n

.

Proof.

GR

id

a

[

n

]

Strd

GR ID

a

[

n

]

Strd

.

L 2

GR

id

a

[

n

]

Strd

,

up

GR id

a

[

n

]

Strd

, 8

L

2

up

L

:

L

2

GR id

a

[

n

]

Strd

,

(proposition

4.112

)

,8

L

2

up

L 8

A

2

up

a

:

d

i

2

n

Z

L

i

/

A

, 8

L

2

up

L 8

A

2

up

a

:

d

i

2

n

Z

L

i

u

A

=

/ 0

)

S

i

2

n

L

i

[

a

has nite intersection property

,L 2

GR ID

a

[

n

]

Strd

.

GR ID

a

[

n

]

Strd

GR

a

Strd

n

.

L 2

GR ID

a

[

n

]

Strd

,

MEET

(

fL

i

j

i

2

n

g [ f

a

g

)

) 8

i

2

a

:

L

i

/

a

,

L 2

GR

a

Strd

a

.

Proposition 18.55.

id

a

[

a

]

Strd

@

ID

a

[

a

]

Strd

=

a

Strd

a

for every nontrivial ultralter

a

on a set.

Proof.

GR

id

a

[

a

]

Strd

=

/

GR ID

a

[

a

]

Strd

.

Let

L

i

=

"

Base

(

a

)

i

. Then trivially

L 2

GR ID

a

[

a

]

Strd

. But to disprove

L 2

GR

id

a

[

a

]

Strd

it's enough to show

L

2

/

GR id

a

[

a

]

Strd

for some

L

2

up

L

. Really, take

L

i

=

L

i

=

"

Base

(

a

)

i

. Then

L

2

GR id

a

[

a

]

Strd

, 8

A

2

a

9

t

2

A

8

i

2

a

:

t

2

i

what is clearly false (we

can always take

i

2

a

such that

t

2

/

i

for any point

t

).

GR ID

a

[

a

]

Strd

=

GR

a

Strd

a

.

L 2

GR ID

a

[

a

]

Strd

, 8

i

2

n

:

L

i

w

a

, 8

i

2

a

:

L

i

/

a

, L 2

GR

a

Strd

a

.

Corollary 18.56.

a

Strd

a

isn't an atom when

a

is a nontrivial ultralter.

Corollary 18.57.

Staroidal product of an innite indexed family of ultralters may be non-atomic.

Proposition 18.58.

id

a

[

n

]

Strd

is determined by the value of

id

a

[

n

]

Strd

. Moreover id

a

[

n

]

Strd

=

id

a

[

n

]

Strd

.

Proof.

Use general properties of upgrading and downgrading (proposition

17.63

).

Lemma 18.59.

L 2

GR ID

a

[

n

]

Strd

i

S

i

2

n

L

i

[

a

has nite intersection property (for primary

ltrators).

Proof.

L 2

GR ID

a

[

n

]

Strd

,

d

i

2

n

L u

a

=

/ 0

F

, 8

X

2

d

i

2

n

L u

a

:

X

=

/

;

what is equivalent of

S

i

2

n

L

i

[

a

having nite intersection property.

Proposition 18.60.

ID

a

[

n

]

Strd

is determined by the value of

ID

a

[

n

]

Strd

, moreover ID

a

[

n

]

Strd

=

ID

a

[

n

]

Strd

(for primary ltrators).

248

Identity staroids