background image

Proof.

That

L

2

/

GR ID

A

[

n

]

Strd

if

L

k

= 0

for some

k

2

n

is obvious. It remains to prove

L

[ f

(

k

;

X

t

Y

)

g 2

GR ID

A

[

n

]

Strd

,

L

[ f

(

k

;

X

)

g 2

GR ID

A

[

n

]

Strd

_

L

[ f

(

k

;

Y

)

g 2

GR ID

A

[

n

]

Strd

:

It is equivalent to

l

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

(

X

t

Y

)

/

A ,

l

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

X

/

A _

l

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

Y

/

A

:

Really,

d

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

(

X

t

Y

)

/

A ,

d

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

X

t

d

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

Y

/

A ,

d

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

X

/

A _

d

i

2

n

nf

k

g

L

i

u

Y

/

A

.

Proposition 18.44.

Let

(

A

;

Z

)

be a starrish ltrator over a complete meet innite distributive

lattice and

A 2

A

. Then id

A

[

n

]

Strd

is a staroid.

Proof.

That

L

2

/

GR id

A

[

n

]

Strd

if

L

k

= 0

for some

k

2

n

is obvious. It remains to prove

L

[ f

(

k

;

X

t

Y

)

g 2

GR id

A

[

n

]

Strd

,

L

[ f

(

k

;

X

)

g 2

GR id

A

[

n

]

Strd

_

L

[ f

(

k

;

Y

)

g 2

GR id

A

[

n

]

Strd

:

It is equivalent to

l

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

(

X

t

Y

)

/

A ,

l

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

X

/

A _

l

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

Y

/

A

:

Really,

d

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

(

X

t

Y

)

/

A ,

d

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

X

t

d

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

Y

/

A ,

d

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

X

/

A _

d

i

2

n

nf

k

g

Z

L

i

u

Y

/

A

.

Proposition 18.45.

Let

(

A

;

Z

)

be a distributive lattice ltrator with least element and nitely

join-closed core which is a join semilattice. ID

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid for every

A 2

A

.

Proof.

@

A

is a free star by theorem

4.47

.

L

0

t

L

i

2

GR ID

A

[

n

]

Strd

, 8

i

2

n

: (

L

0

t

L

i

)

i

2

@

A , 8

i

2

n

:

L

0

i

t

L

1

i

2

@

A , 8

i

2

n

:

(

L

0

i

2

@

A _

L

1

i

2

@

A

)

, 9

c

2f

0

;

1

g

n

8

i

2

n

:

L

c

(

i

)

i

2

@

A, 9

c

2 f

0

;

1

g

n

: (

i

2

n

:

L

c

(

i

)

i

)

2

GR ID

A

[

n

]

Strd

.

Lemma 18.46.

X

2

GR id

A

[

n

]

Strd

,

Cor

0

d

i

2

n

A

X

i

/

A

for a join-closed ltrator

(

A

;

Z

)

such that both

A

and

Z

are complete lattices, provided that

A 2

A

.

Proof.

X

2

GR id

A

[

n

]

Strd

,

d

i

2

n

Z

X

i

/

A ,

Cor

0

d

i

2

n

A

X

i

/

A

.

Conjecture 18.47.

id

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid for every set-theoretic lter

A

.

Proposition 18.48.

Let each

(

A

i

;

Z

i

)

for

i

2

n

(where

n

is an index set) is a nitely join-closed

ltrator, such that each

A

i

and each

Z

i

are join-semilattices. If

f

is a completary staroid of the

form

A

then

f

is a completary staroid of the form

Z

.

[TODO: Move this proposition (and note

its corollary).]

Proof.

L

0

t

Z

L

1

2

GR

f

,

L

0

t

Z

L

1

2

GR

f

,

L

0

t

A

L

1

2

GR

f

, 9

c

2 f

0

;

1

g

n

:

(

i

2

n

:

L

c

(

i

)

i

)

2

GR

f

, 9

c

2 f

0

;

1

g

n

: (

i

2

n

:

L

c

(

i

)

i

)

2

GR

f

for every

L

0

; L

1

2

Q

Z

.

Conjecture 18.49.

id

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid if

A

is a lter on a set and

n

is an index set.

18.4.4 Special case of sets and lters

Proposition 18.50.

"

Z

n

X

2

GR id

a

[

n

]

Strd

, 8

A

2

a

:

Q

X

/

id

A

[

n

]

for every lter

a

on a powerset and

index set

n

.

18.4 Identity staroids and multifuncoids

247